I .tt
on trouve aisément
Ao=ao» Ai=ao^-l-ai, Aj= ao5*-h urti^ -h îaj, ...,
el, en général,
D'où Ton volt, z étant positif, que A/ est de même signe que re\|)ression
«y -3" -4- iui :;«-' -+-«(/ — I ) Ui z"-^ -h t( t — 1 ) ( t* — 2 ) ^3 >5'*-3 -+-...; si donc on forme le polynôme
V(X) = ClQZf^-h Cf| :î"- ' J^ -1- UiZ" ~^x(x — l) -f-. . .
-{- anx( X — i) . . .(x — n -f- 1 ), le noml)re V esl éîral au nombre des variations de la suile
Posons z= - et, en clianneant x en — »
(U " tu
( *(x) = ciQ-h aix -T- a^x^x — ijj) -\- a2x(x — u})(x — 2(0) -+-. . .
\ -h a„x(x — to) . . .{x — n — i to ; ,
V est aussi égal au nombre des variations de la suile
En désignant par/>' le nombre des racines posilives de Téq nation ^(x) = o, on a d'ailleurs V^/>'; d'où, en verlu de la relation
Ainsi l'équation 4>(x)r=o a au moins autant de racines positives que l'équation /(.r) = o ; en particulier, si réquationy( .1) = o
ai ALOKnnK.
a loiilos SCS racines réelles et positives, il en est de même de
réqualion
<I>(jr) = o.
Je remarquerai, de plus, que, V étant dans ce cas égal à y9, la substitution dans ^{-r) des nombres o, w, aw, ... doit précisément donner p variations; d'où il résulte que, i désignant un nombre entier (|uelconquc, l'équation 4>(x) = o a, au plus, une racine comprise enlre ico et (i -\- 1)0).
Posons, par exemple.
on aura
<pi J-) = I -f- /ij-H xix — tu) -h. . .
i.'Ji
-^ xyx — ta) . , . {x — n — iu>).
On voit que Téquation ^(x) = o a toutes ses racines réelles ot, de plus, qu*on peut les séparer toutes en substituant dans le polvnomc *I*(.r'> la suite des nombres
o, co, acxl. 3b>, ....
12. Comme je l'ai démontré, le nombre V des variations des termes du développement de e'^ /(x\ est au moins égal au nombre p dos racines positives de l'équation ^/"(x » ^ o; ce nombre ne peut d'ailleurs que diminuer lorsque z prend dos valeurs de plus on plus grandes. On peut se demander si, pour des valeurs suffisamment grandes do z \^ot, par conséquent, pour toutes les valeurs plus grandes^ V sera précisément égal à p.
Supposons, 00 qu'il est toujours permis de faire, que Téqualion /\.r' = o n'ait pas do racine nulle. Do ce que j'ai établi plus haut, il n*sullo, on supposant r« positif, que \ est au plus égal au nombre dos racines jH>sitivos do l'équation ^ x =«», où <l>(x'> rt^présonto le polvnomo qui figure dans l'égalité A n"" Il •.
S^it w*t^ wi lo discriminant do 00 polvnO»mo : le nombre entier k sera s:ônôralomont é;;al à xéro, sauf lo cas où IVquatîon /"• co • = o a dos ravMuo'^ égales. IVsignons par t'>, un nombre positif inférieur à la plus iHMito racine po>ili\o <lo Toquation t^ x =0, et fais ^n> \arior jvw dogiv< inson>iblos •». depuis -^ ju>«]u*à <-•»• Lé-
quallou 4> (j:) = o n'ayant jamais de racine nulle, puisque «o est différent de zéro, aucune racine négative ne pourra devenir positive; les racines qui étaient imaginaires pour (o = o ne sauraient devenir positives, car elles ne le pourraient qu'en devenant égales deux, à deux, ce qui est impossible, puisque co est plus petit que coi. 11 pourrait se faire, si l'équation /(j;) = o a des racines égales, que certaines racines positives multiples devinssent imaginaires^ dans tous les cas, /?' désignant le nombre des racines positives de Téquation *i(j?) = o, où ^i(x) désigne ce que devient le polynôme ^{j^) quand on y remplace w par w,, on ^p'^^p-
Or, on a V </?' el, par suite, ^p; d'autre part, V>/?; de là résulte V =/?; ainsi le nombre Wi ayant été choisi comme je l'ai dit
plus haut, si l'on pose 3 =: —, on est assuré que pour celte valeur
de z {et pour les valeurs plus grandes) le nombre des variations que présente le développement de e^^/(x) est exactement égal au nombre des racines positives de l'équation /(j:) = o.
Ce théorème subsiste évidemment si cette équation, contrairement à ce que j'ai supposé, avait des racines nulles.
De là résulte une méthode entièrement différente de celle de Lagrange et de celle de Sturm pour déterminer exactement le nombre des racines positives dUine équation.
Cette méthode exige seulement le calcul du discriminant (o* 6 (<*>) du polynôme ^{x)\ mais, ce polynôme étant une fonction de la variable co, le calcul de ce discriminant ne laisse pas que d'être très pénible.
On a ensuite à déterminer une limite inférieure W| des racines positives de l'équation B(g)) = o et, cela posé, le nombre des variations de la suite indéfinie
*i(o), *i(w,), *i('Jia>,), ...
donne exactement le nombre des racines positives de l'équation proposée.
Bien que ce procédé ne soit guère pratique, j'ai cru cependant devoir le mentionner, eu égard au petit nombre des méthodes qui permettent de déterminer le nombre exact des racines d'une équation qui sont comprises entre deux limites données.
2<> ALGKBRE.
