SDR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE PONCTION

f(z) la partie du développement de j:^J'^J qui renferme les puissances

négatives de z inférieures en valeur absolue à m = i , il en résulte que Art est égal à la partie entière du produit

2. Soit, en général, à développer la fonction /"(z, a:) suivant les puissances croissantes du polynôme F (3). Posons

f(ZfX)= ao-h a^zx -^ afZ^x^ -f- . . . -+- aiZ*x'-^ . . . , I ^0 ^1 ai

et

On voit aisément que les coefficients B|, B2, . . ., B;,, sont respectivement de l'ordre mn -{- m — i, mn-\- m — 2, ..., mn par rapport à la lettre x^ et, de la méthode donnée par Jacobi, il résulte immédiatement que ces nombres désignent aussi Tordre des

fonctions

tJ/ij tJ/i,i, .«.) t'/i.wi— 1-

DÉVELOPPEMENT DE C^' SUIVANT LES PUISSANCES d'uN POLYNOME F(.5).

3. Soient 2i , 5j. . , , ^ Zm les m racines de Téquation F( 3) = o ; je supposerai qu'elles soient toutes inégales et poserai

En égalant entre elles les dérivées par rapport à z des deux membres de cette équation, il vient

:r> (U„5'«-»-hU„,t5'"-ÎH-...-hlj«,,n-,w4-U„,;;,,) ^-^

ou encore, fn \i<

F"-'fî)

d'où les relations suivantes :

aU„,„-

, + nH,-(-x,4.,,

Comme les quantités a,,^., , ^„^, .

ment en fonction de Uh^.!, U,i+i,i.

coefficients sont de la forme

M'-nfi s'expriment linéaire- • 1 Un+i,>n Mon voit que ces

M et N étant des fonctions linéaire:

Si d'ailleurs, dans l'équation (s),

z ^ z^, . . . el z = 3„, on a les rela

ideU„, U„, ,L'„,„,

on fait successivement ; = tions

p=~'= Ue = ï

r' + Uo,t-

d'où Ton conclut que Un, Un,i, • linéaires de e'-^, e-t-', , . . , e=-"' et à Par suite, U„+,, U„+,.,, ....

linéaires de ces mêmes quantités, '.

nomes entiers on x du degré n -H i

■ -% Uo,ni i sont des fonctions coefficients conslants.

Un+i,m i sont des fonctions es coefficients étant des poly-

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION. 3oi