résulte de ces considérations que U„ est de la forme

les coefficients M|, M2, . . . , M,,, étant des polynômes entiers en x du degré n.

D'après ce que j'ai dit plus haut (n** 2), on sait que le développement de U« suivant les puissances croissantes de x commence par un terme de Tordre de x'"""*""'"* ; d'où cette proposition importante :

Les polynômes W,, M2, . . ., M,, ont précisément les valeurs pour lesquelles l'expression précédente est de l'ordre le plus élevé possible.

En effet, ces divers polynômes étant du degré n renferment seulement m(n-}-i) coefficients arbitraires et, en disposant de ces coefficients, on ne peut annuler dans le développement de la fonction que le terme constant et les termes en x, x^, ... et

La proposition est donc démontrée.

o. Les formules (3) permettent de calculer par voie récurrente les diverses fonctions U/i; il est facile d'obtenir l'équation différentielle linéaire du /i'^"*" ordre à laquelle satisfait U«.

A cet effet, et pour simplifier les calculs, je supposerai d'abord que le polynôme F(5) est divisible par s. En égalant entre elles les dérivées par rapport k x de l'équation (a), il vient

^^ \ dx dx dx dx / i . 2 . 3 . . . /i

or, si l'on pose on trouve aisément

Portant celle valeur dans la relation précédente, on a

À^ \ dx dx dx dx ) i . -2 . 3 . . . /i

+y [(U,,.t - aUn);""-' -h ( U„, *U„);!"-» + . . . -4- (U„.„-, - l\}„)z] ^""^"^

d^où les relations

d\h dx

dUn,x

= U„,i — aUrt,

dx

dx

dVn,m-\

dx

= /iUrt i,

que Ton peut mettre sous la forme suivante :

6. D*après la première des relations (3), on a (5) xVn.m-i = U,i,,„2-h /iK„-+- X,,^, ;

calculons les valeurs de Kn et de )»//+<, m<-

L*équatlon (2 bis) donne d'abord, parce que F(:;) est divi sible par 5,

SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UNE PONCTION. 3o3

On déduit de la même équation

d^oii Ton voit que K» est le terme constant dans le développement de

OU encore, si l'on désigne généralement par S^ la somme des pièmeu puissances des racines de l'équation F(5) = o, dans le développement de

On en déduit

et, en vertu de Téquatlon (5)

-h /lS| U,^,/||3 -4- . . .-+- /lS,;i 3U«,i H- nS,/|2 U/t -h /U/i+i, //|i .

Prenons les dérivées des deux membres de cette égalité; en ayant égard aux relations (4), il viendra

jri — ■: H Cl — z ; h. . .-f- f — v— )

\ c^o:"' dx"*-^ dx J

-f- (mÂ--i-Si/i-+-. . .-T-aS,„3-+-5,„2) — ^ -h /U„ = o.

On a d'ailleurs, en vertu de relations bien connues et dues à Newton,

St -h a = o, ..., S„-2-i-rtS,i 3-T-. . ,-+-( //i — 2) K = o;

3o4 ALOÈBHF.

au moyen de ces relalioDS, Inéquation précédenle devient

V dx^' dx'^-^ dx 1

L dx»^-^ ^ ' dx"^-^ dx J

7. Il est facile de passer, en faisant un changement de variable, du cas où F(-3) est divisible par 5, au cas général. On obtiendra sans peine la proposition suivante ' Si l'on pose

F(;;) = z"^-\- a;;'"-' -+- hz"^-"^ -\- . . ,-^ kz -4- /, la fonction U« satisfait à l'équation linéaire du m'^"** ordre

!l d'^y d'»-^y , dy , \

r ^'"-ïv , d"^-'^Y , 1

U// étant une solution de cette équation, il est clair que la solution la plus générale sera donnée par l'expression

y = CiMie=«^-i- C, M,e=^-*^-f-. . .-h C,„M,„e-««', oii C,, 0-2, ... cl C/« désignent des constantes arbitraires.

ni.

8. Pour intégrer l'équation précédente et en déduire Texpression de la fonction U„, je rappellerai d'abord quelques résultats importants dus à Lagrange ( ' ).

A toute é(|uation dilVéreuticlle linéaire du m'*"™*" ordre

^^ dx"' dx"^--^ dx -^

(') Solution de différents problèmes de Calcul intégral {Œuvres de La-

i: ranime, t. I, p. \-;}).