SUR LK DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION

se rattache une autre équation du même ordre

-T — (A m) — -i 7(BM)-h.. .

±1 -j-{Ku)if.Lu =o:

c^est l'équation adjointe de la première, et, quand on en a Tintégprale complète, on peut intégrer l'équation proposée.

En désignant en effet pari/|, 1/2 > • • •) ^m m intégrales distinctes de Téquation (8), on sait que l'intégrale générale de Téquation (7) est donnée par la formule

rfjT

d'n-'^Ux dx'" -»

d'n-^Ui

dx'»^-^

dui

CtT

dui dx

Ut

du

dx

OÙ a, ^, . . ., X désignent des constantes arbitraires.

9. Relativement à l'équation (6), l'équation adjointe de Lag^range est

—5 (J^w) 1 riax— nm) u -h -, lïbx — /i(m — i)a|î*-h.

efjr'" dx'^ -* ^ dx^-^ ^ ^ ' ^

équation qui peut se mettre sous la forme suivante :

d"*u dx"^

d'»-Ut , d"*-^u a -7 7 -+- b , — . . ,-zîi lu

dx"*~^

dx'»-^

et la méthode de Laplace en donne immédiatement m intégrales distinctes, à savoir :

//,= r e-"F'*it)dty Ui= j e-i^V{f)df,

Dans ces intégrales, le signe de la limite supérieure doit être choisi de telle sorte que pour cette limite e"'-^ s'évanouisse. L. 20

ALGEBRE.

Si maintenaal Ton remarque que, pour Fëquation (6), on a

A = a? et B = ax — /im,

et, par suite,

— sp^f^ g — ^^

on voit que Tintégrale générale de Tëqualion (6) est donnée par la formule

y ^ X"*" +•''«— I g-ax

10. Il faut encore déterminer les constantes arbitraires a, ^, . . ., X de telle façon que Texpression précédente donne la valeur de la fonction U/i. Or, une propriété caractéristique de cette fonction consiste en ce que son développement suivant les puissances croissantes de x commence par un terme de Tordre de -^•mff+m-i j il suffît donc de déterminer les constantes de telle sorte que le développement du déterminant, contenu dans la formule précédente, ne renferme pas de puissances négatives de x.

C'est ce qui aura lieu si l'on fait

par une transformation facile, on peut mettre alors le déterminant sous la forme suivante :

^-/xF«( /)/"«-

e-'tJC^n(t)im-

g-/xF«{ /)/'«-

^dt ... j