SUR LE DÉVELOPPEMENT DUNE PONCTION

et, comme chacune des intégrales qui constituent les éléments de ce déterminant a un développement de la forme a -4- ^x-h^x^, il est clair que le développement du déterminant lui-même ne renferme aucune puissance négative de x.

On a donc

U« — j-m«4-w-l e-ax \ j

si l'on pose, pour abréger,

OÙ 0|,A est une fonction rationnelle de x, dont le dénominateur est une puissance entière de x, il vient

U» = fl?'»»»-»-"»-i e-**^

I ^--'•'ei,,„i

OU encore, en faisant passer e~^^ dans le déterminant et en re marquant que

gZiX

!,wi-î

U» = ir'«'»-*-'«-i

\j fi —— »*'

duit

^/;i,wi— 3

et des formules analogues donneraient les valeurs des coefficients Ma, M3, . . . , M/„. Il serait facile d'exprimer A au moyen d'une intég^rale multiple, mais je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet (*).

(«) Voir, sur cette question, une Lettre de M. Hermite à M. Borchardtj insérée dans le tome LXWI de ce Journal.

3o8 aloëbre.

DÉVELOPPEMENT DE C^' SUIVANT LES PUISSANCES DE ^(Z — l).

H. Soit

(9) e-rx=s(V„-.-^U«)'/: 'J ;

en prenant la dérivée de celte équation par rapport à x, on a la relation

OU bien, comme Ton a identiquement

z(Vi-i-5u;)— ^ ^ = £(n-hi)u„ î^ — -— 1 — -