L'équation (9) peut s'écrire de la façon suivante

-hX^z-^X^ h...-+-X« = > (Vn-f-^U«) — ^

si l'on ordonne, suivant les puissances croissantes de a:, les coefficients V« et U„ qui entrent dans le second membre, cette équation sera satisfaite identiquement et, par conséquent, subsistera si Ton remplace x' par j:/, quelle que soit d'ailleurs la valeur attribuée à cette quantité.

Posons, en dénotant les dérivées à la manière de Lagrange, Xi==:r'/^'^(^), :r et / désignant deux variables arbitraires; l'expression symbolique e^^ aura pour valeur /(f + xz)\ nous aurons donc le développement suivant

OÙ Va et //„ désignent ce que deviennent respectivement V» et Un quand, après avoir développé ces expressions suivant les puissances croissantes de x, on y remplace x^ par x^f^^^{t)>

Par cette substitution, e^ se transforme en /{t-{-x)j xe^ en xf'{l + x) et, généralement, x'e^ en x^f^^^ {t-^ x)\ on obtiendra donc facilement les valeurs de Un et de ^„, et, en particulier, on aura

Un = {— \Y in{in — I ) . . . ( /i -f- 2) ( /i -+- 1 )

X i \j{t-\-x) — nx ^ H x« -î^-— — — . . . I

1 i. On déduit de là