I . v> . 3 in{'xn — I ; ( 2 /i — 2 j

SUR LK DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION. 3il

OÙ, si Ton adople la notation de Gauss, et si Ton pose

n(/i)= I. 2. . .Al,

Comme je Tai fait remarquer plus haut (n® 2), le développement de Upy suivant les puissances croissantes dex, commence par un terme de l'ordre œ^"'^* ; R est donc également de Tordre

15. On aura donc, en négligeant les termes de Tordre 2/1 + 19

^^/(i-^x)^/'(t) n(n-i)x* /'(i-hx)-f{e) (i4) \ 2 1.2 2/1(2/1 — i;

/i(/i — i)(/i — 2)ar» /'^(t-hx)-^f^(t)

Si dans la relation précédente on pose

/('H-^)-/(0=J F(Orf^

il viendra

F(t)dt

/,5V ^ __^F(f-t-x)-hF(/) /t(/t — i)x« F^r-t-x) — F(0 ' ~ a 1.2 2/1(2/1 — i)

16. Comme application de la formule (14)7 posons /{x) = arc tangr, / = o et x = 1 ;

on a, diaprés une formule bien connue,

/t« ( j:) = '- f — -\^. sin ( i arc lang - ),

par suite,

u (o) = (— i)«-i n(* — i) sin ~

ALaËBBE.

(- D'-ynU-}) .

En portant ces valeurs dans l'équation (i4)) oa obtiendra la formule approximative suivante,

\ (an-iMï"-')(«n-3) 4 '

OÙ j'ai posé, pour abréger,

on trouve aisément L, = 3. L, =

2 2/.-I 4 an-i

7 fn-3)(/i-4) I f"-3)(n-JKn-5)

8o(an-i)(in-3) 96 (an -i)(-2n - 3)(2n - 5)

En faisant successivement, dans cette formule, n égal à 1 , 2, 3, 4, 5 et 6, on obtiendra pour le nombre it les valeurs approximatives suivantes ('),

jr = 3-H^ = 3,141,..,

= 3,i4ifi...,

B=3 + ~^-i-~ + ^^ Io.6~6.n 'la.M "'^■'^'^^ ••■

( '] Il est à remarquer que pour une valeur entière de n on doit arrêter laTor' mule (i^) au terme en L,; na doit avoir égard ï celte remarque dam l'applicatino de la formule {•■;).

SUR LE DÉVELOPPEMENT D*UNE FONCTION. 3l3

DÉVELOPPEMENT DE log(l + ^â7) SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES

DE Z(z — l).