X-" dx
r xi»dx
Un = ll(/l) / r i •
La formule (i3) donne alors en posant, pour abréger,
lopd -hx)= - (x'-hx)-^- -- (jr'2— ^2)
•2 a Jifl — \
3l4 ALGÈBRE.
OÙ
18. En posant dans celte formule a:= i, il vient pour déterminer logn2, la formule approximative suivante,
loga= 7 — -ê TZ : ^-
dans rapplication de cette formule on doit, pour une valeur en tière donnée de n, s'arrêter au premier terme qui s'annule. En y faisant successivement n égal à i, 2 et 3, on trouve
log2 = - =0,75,
Ioga= ^ — Yê =^>^^7^»
La valeur exacte de ce logarithme est
o,693i4> Paris, le 3o mars 1879.
SUK
LE DÉVELOPPEMENT DE (^-^r,
SUIVANT LES PUISSANCES DE (5* — l).
Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences ^
t. LXXXVI; 1878.
Dans une Note que j'ai eu récemment l'honneur de présenter à l'Académie, j'ai montré, par l'exemple de la fonction e**, la liaison remarquable qui existe entre l'approximation des fonctions au moyen de fonctions rationnelles et leur développement suivant les puissances d'un polynôme.
Le même fait a lieu à l'égard des fonctions (a: — -s)'"etlog(j: — z), quoique d'une manière moins directe.
Pour prendre l'exemple le plus simple, soit à développer (a: — z)^ suivant les puissantes croissantes de (s^ — i). Posons
(:r--5)'«=2:(U„-f-5V„)(5«-i)'; on obtiendra facilement les relations suivantes :
U;=-(an-+-i)V„-(/n-i)V;,^i, V; = -2{n-f-i)U«^,;
d'où l'on conclut que \n satisfait à Téquation linéaire du second ordre
d^ Y dy
Désie:nons maintenant par ^Tr-{ 'a n*^"*^ réduite de la fraction
( — — -j ; je veux dire par là que '^{x) et f{x) sont des polynômes du degré n, tels que le développement de
3l6 ALGÈBRE.
suivant les puissances descendantes de la variable, commence
un terme de Tordre de
/pl/H-l
j satisfai
Téquation
(^*— 0^ -hi(X'-'m)'^—n(n-hi)u = o;
d'où Ton voit que ç = {x -h i)"'/{x) — (x — i)'^f{x) satisfÊ à Téquation
et -7-^ à Téquation (i).
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Si ron désigne par Vj—l la n^^"^^ réduite de l — -— j
coefficient de z{z^ — i)", dans le développement de {x — z)suivant les puissances croissantes de{z^ — i), est égal à la /i'* dérivée de ^expression
Des circonstances toutes semblables se présentent dans le dév loppement de {x — z)^ suivant les puissances d'un polynôme d — ^ degré quelconque. Je ne m'étendrai pas davantage à ce sujet, m. ^ bornant à considérer, à cause de sa simplicité, le développemei^ * de log(a: — z) que l'on peut considérer comme correspondant a"»-' cas où m devient égal à zéro.
F(;;) étant un polynôme du degré m + i , soit
,^-iV^
on en déduit
Vix) — V{z)
r — z \" KX) — V{z)
s"'Vi)F''(^);
(') Voir, par exemple, ma Note Sur l'approximation des fonctions d'une variable au moyen de fractions rationnelles {Bulletin de la Société mathématique, 1. V, p. 85).
SUR LE DÉVELOPPEMENT DE {x — z)"*. 817
d'où
En désignant par Sq, Zt, . . ,^ Zn les racines de Téquation F(z) = o, considérons l'expression
" = "''oe(j^)-.n,io,(j5ii)-....-.n,„.og(j^«)-u,
où n, Hi, Ha, . . . , !!;„ sont des polynômes entiers du degré n qui rendent l'expression Û de l'ordre le plus élevé possible en -, c'està-dire de l'ordre de — rrrr-r-
M. Hermite a montré (*) que la (n-H i)»*^"<' dérivée de^Sr^est précisément pj^^pjyr—^; on en conclut que V^ et la n'^Jjl^érivée
de ù ne peuvent différer que par un terme conslan^^De la règle donnée par Jacobi, on déduit d'ailleurs que V;,^j(rde l'ordre de
mn-i-m-i-n * P^** suitc Ics développements de \J»l de -7 — suivant les puissances décroissantes de x^ comm^pmt tous les deux par un terme de l'ordre de ,^,^^^.. et ce^peux fonctions ne pouvant
différer que par une constante, o'^jé V,î= -j--7i'
Ainsi :
Le coefficient de s'» F" (:;), 'dans le développement de log(j: — z) suivant les puissances de ^jP(^z) est égal à la dérivée n^^"*^ de V expression J
> 1 loPi: r ■+- *^J/I0g 1 -h. . .-+- Pm log ; 1*1,
^ *'0 / ^X — Zq X Zx
où les polynômes, dm degré n, P, P,, P2, .-, Pm ont précisé^ ment les valeurs pjour lesquelles V expression précédente est
de V ordre le plus ëlevé en - •
( » ) Sur quelques éi^uations différentieUes linéaires ( Journal de Borchardt, t. LXXIX).
SUR LA
