RÉDUCTION DES FRACTIONS CONTINUES

DE e^^'\ F {x) DÉSIGNANT UN POLTNOHB ENTIER.

Comptes rendus des séances de VAcadémie des Sciences,

t. LXXXVII; 1878.

1 . L'étude du développement en fractions continues d'une fonction d'une variable conduit, dans un très grand nombre de cas, à la considération d'équations différentielles linéaires et du second ordre qui jouent un rôle important dans cette étude. Elles ont pour solutions les polynômes qui forment les dénominateurs des réduites.

Dans deux Notes précédemment publiées (*), j'ai déterminé la forme de ces équations ; pour résoudre complètement le problème, il restait à déterminer les coefficients des polynômes qui entrent dans leur expression : c'est à quoi je suis parvenu par une méthode très générale et qui s'applique à tous les cas nombreux et importants que j'ai examinés dan-6 les Notes que je viens de rappeler, vv

Dans le Mémoire que j'ai TlionneuT de soumettre aujourd'hui à l'Académie, je traite seulement le dt'veloppement de la fonction e^^-''^ où F{x) désigne un polynôme ^entier d'un degré quelconque m. \

2. Soit 2^ une réduite de e''"*\ /,i(j-)^et <p«(jr) éunl deux polynômes du degré /? ; j'ai montré i\\J^e fn\.x) est une solution

(•) Sur rapproximation des fondions d'une variab/e au moyen des fractions rationnelles {Bulletin de la Soc. math., t. V, p. ;€).

Sur l'approximation d'une classe de diverses transcendantes gui comprennent comme cas particulier les intégrales hyperiUiptiques (Comptes rendus, t. LXXXIV, p. 643).

d'une équation difTérentielle linéaire de la forme

OÙ S„{x) et Hit(j?) désignent des polynômes entiers ayant respectivement pour degré (m — i) et 2(/w — i).

Le problème à résoudre consiste à déterminer les coefficients des polynômes 6iî(^) et H„(^), ou plutôt à trouver les relations qui lient entre eux les coefficients des divers polynômes Sn(x)y Ort i(^), ...,Hrt(a:), H,i i(j:), ..., de façon à pouvoir en déterminer la valeur par voie récurrente.

A cet effet, en posant, pour abréger,

Ix a©«(a7) 2 J

n F'ix) d ^'n{x) ^n^x)

■ ^B^ ■ !■ ■ ■ I ^m» ^^m^m II », - ■ il» ^^n^— •

X^ '2 dx iBnix) xSn(x)

l X iBa-liX) i- J

puis

ar* tl dx •2 0rt i(a7) x^n~\{xy

R-hS = G, R — S = K et A = e«(a:)e«,(:r),

je remarque que, en désignant par ^ une constante convenablement choisie, l'expression rationnelle