BA-1-2G

est un carré parfait; de plus, Û étant la valeur de sa racine carrée, on a identiquement

t- rKdx

/K df -— - ne renferme /a

pas de partie transcendante.

De là découlent les relations cherchées entre les coefficients des polynômes 6^, B„i , . . . , H„, H;,,, ....

3. Comme application de la théorie générale, faisons Dans ce cas, fn{^) satisfait à une équation de la forme

et le problème à résoudre consiste à déterminer, en fonction de a et de /i, les coefficients a„, P„ et Q„. En posant, pour abréger,

W Q/iH a,4 — a = B et Qn-i H — «;,, — a = G,

l'identité (i) donne les relations suivantes :

(4) B« H- 2-1 1 (a;, ■+-«)« -h /iM -^ -r- -— ) = o,

4. La solution du problème est ainsi ramenée à une question d'Algèbre élémentaire. Si, en effet, entre les équations (4) et (5), on élimine successivement B et C, on obtiendra deux équations du quatrième degré auxquelles satisfont respectivement ces quantités et qui sont de la forme

(6) <\\(B, 0L„, a«,, n) = o et

(7) 'l'iCG, a„. a„i, n) = o.

Si maintenant on observe que B se déduit de C par le changement de n QTi [n-\- i), de Téquation (7) on déduira une nouvelle équation

En écrivant que les équations (6) et (8) ont une solution com-

SUR LÀ RÉDUCTION DES FRACTIONS CONTINUES. 3il

mune, on obtiendra une relation entre les trois quantités consécutives a„^4, oLn et a„4 qui permettra de calculer par voie récurrente les coefficients a^. La valeur de la racine commune donnera B, puis C par le changement de n eu {n — i); ces calculs eiTectués, les formules (2) et (3) détermineront P« et O,,.

SUR LA