Soit

une srrie indrlinie ordonnée suivant les puissances croissantes de Xy dans laquelle je suppose tous les coefficients positifs ou nuls, le premier étant difl'érent de zéro.

Considérons Téquation

(I) /{x) = A,F(a,x) — AiF(x,x)-^...-i- A„F(a„j-) = o,

où les a/ dési<;nent des quantités positives que je supposerai rangées par ordre décroissant de grandeur, en sorte que Ton ait

Il >• ij > ij r^ ... !^' X/i-i > ifl.

Cela posé, si nous développons en série le second membre de Tétpiation ( i\ nous aurons

f {X) = (t^,\ \| — Aj — . . .— A„ »

-r <ii(Ai ïi -T- Aji* ^-. . . — \n 2., )x -i- rtj ( A I a'f — A j 1 3 — . . . — .\ rt a J » jt' --cï3(A,iJ — A,aî —...-- A,|iJ »x»

el il résulte de la règle «les sisrnes de Descaries que le nombre /> des racines pi>sili\es «le Téq nation ( i « ^crst-à-<iirr le nombre des f/uanfitr.^ posffixrs f/ui (uuntlt'nt f- r > rt pttur trtjuei te ticxetoppemrnt en sc/ie fie eeffe fitnrtivn est eon\er^ent^ est au plus égal au nouibr»' des \ariation^ que présentent les termes de la série iiulélinie

INuir a\oir une liuiile supérieure «lu n«Mnbre de ces xarialions. arrêtons celte >t'*rie au It rnie île ran::^,

Vt. \'X, ...*^ V.^-

SUll LA TIIÉOUIK DES KgUATIONS NUMÉniUIES. 37

el désignons par V le nombre des variations que présentent ces /-Hi premiers termes.

En désignant par V" le nombre des variations de la série indéfinie

A, a', H- A, a', -f-. ..-f- A^ai, \iOL'{*-\-h \t%!^'-^ -h. . .-\- Xn^i!'^ , - ••»

on a évidemment V==V'-f-V".

Or la seconde série se composant des valeurs que prend la fonction

<!>( x) = A, a; t\ h- A, a', a-J -t- . . . -h A„ ai{, 3i>î,

lorsqu'on y fait successivement x = o, jr = i , x='a^ ..., le nombre des variations des termes de cette série est au plus égal au nombre des racines positives de Téquation 4>(x) = o, ou encore au nombre des racines supérieures à Tunité de Téquation

(-y) A|a' j'-^^t-t- Asai-j'^'^i -H. . .-h A«x!,5'''8«'. = o,

que l*on déduit de la précédente en posant e*^= z.

Les nombres positifs a,, a,,, .. . , ol„ allant en décroissant, il en est de même des ex|)osants loga,, lo^a^, ... , loga,,; il en résulte, en vertu d'une [)ropositi()n dénïontrée ])lus haut (n" o), que le nombre des racines de Téqualion (9.) qui sont supérieures à Tunité est au plus égal au nombre des alternances de la suite

En désignant par K le nombre de ces alternances, on aura donc

VK et V:V'h-K; d'où encore

/>lV'-hR.

1 1. Considérons, en particulier, le cas où Ton arrête la série (A) à son premier terme; il résulte de ce qui précède ([ue/> est au plus égal au nombre des racines de Téqualion

qui sont supérieures à Tunité, et l'on peut énoncer cette proposition importante :

aS ALaèBHi.

Le nombre des racines positives de V équation

où les quantités i,, ij, ...,«« sont des quantités positives rangées par ordre décroissant de grandeur, est au plus égal au nombre des alternances de la suite

\o. Onauraitpu, d'une façon plus générale, coQsîdérerl'équatioD

A, F(ix,j7) + A.F(», »■) + ... + A„F(a„x) = *(ar).

où 4'(x) désigne un polynôme entier. Mais je crois inutile de m'étendre sur ee sujel ; ce que j'ai dit plus haut suffit pour faire voir de quelle manière on pourrait, traiter cette question.