D*UNE CLASSE ASSEZ ÉTENDUE DE FONCTIONS

Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences,

t. LXXXVII; 1878.

1. La méthode que j'ai employée, dans un Mémoire présenté récemment à l'Académie, pour le développement en fractions continues de e''^^*, s'applique entièrement à un cas beaucoup plus général, à savoir quand la fonction à développer satisfait à une équation différentielle linéaire et du premier ordre, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de x.

Soit V une fonction satisfaisant à Téquation différentielle

(1) V'=FV-f-4»,

où F et «^désignent des fonctions rationnelles quelconques de x. Supposons, pour fixer les idées, que V soit développable suivant les puissances croissantes de x, et soit ^ une réduite de V,

Jn

^n Gifn étant des polynômes entiers du degré /i, choisis de telle sorte que le développement de V — ^ commence par un terme

Jn

en x^""* .

De Féquation (i) on déduit immédiatement la relation

où Sfi désigne une fonction rationnelle de x, dont le dénominateur est connu et dont le numérateur est d'un degré déterminé. Cela posé, formons Téquation différentielle

qui a pour solutions

RÉDUCTION EN PnACTIONS CONTINUES It'UNE CLASSE ASSEZ ÉTENDUE, ETC. 323

d'après une proposition connue, on a

OU, en vertu de (2),

M dx ""^ " ^*

D'où il suit que fn satisfait à une équation difTércntielIe du second ordre, de la forme

H|, désignant une fonction rationnelle de x dont le dénominateur est connu, le numérateur étant d'un degré déterminé.

2. Dans un assez grand nombre de cas (ce sont les plus simples et par cela même les plus intéressants), les fonctions rationnelles 0/, et H« se déterminent immédiatement et le problème est complètement résolu.

Dans le cas général où cette détermination est plus diffîcile, on peut employer la méthode suivante pour trouver entre les coefficients des fonctions B„, Hrt, 0/i i, H,|,, ..., des relations qui permettent de les obtenir par voie récurrente.

Considérons l'équation

à laquelle satisfait f,i et dont la solution la plus générale est donnée par la formule

où A et B désignent deux constantes arbitraires; puis l'équation

Mo u" — No w' — î*o = o,

à laquelle satisfait /,i i et dont la solution la plus générale est donnée par la formule

Ao/„-, -h Uo(^n-ie-^'^^-^-/„/^e-J'*'^')]

3a'| ALQÊBRF.

cela posé, formons Inéquation difTérentielle linéaire et du quatrième ordre à laquelle satisfait la fonction

z = uy.

Il est facile de former cette équation, dont les coef&cients ne renfermeront d'autres quantités inconnues que les coefficients de B,i, H;,, ^n-\ et H,i j ; or cette équation admet évidemment comme solution

et, d'après une propriété élémentaire des fractions continues, on sait que, à un facteur constant près,

L'équation différentielle du quatrième ordre en z est donc identiquement satisfaite quand on j fait

et de là découlent les relations cherchées.

3. La méthode que je viens d'exposer présenterait, dans la pratique, des difficultés de calcul presque insurmontables, même dans les cas les plus simples. Pour pouvoir l'employer sans trop de longueurs, il est nécessaire de lui faire subir des modifications que j'ai développées dans le Mémoire cité plus haut et relatif à la réduction de ^^^'"^ en fractions continues.

SUR LA