RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE DE
11. La solution complète du problème est maintenant ramenée à une question d'Algèbre élém'entaire.
Si en effet, entre les équations (aS) et (24), on élimine successivement C et B, on obtiendra deux équations du quatrième degré auxquelles satisfont respectivement ces deux quantités, et qui sont de la forme
(25) <ï>(B, «„,««-!, n) = o et
(26) *l(C, OLn,an-un) =0.
Si maintenant on observe que B se déduit de C par le changement de n en (n -\- 1), de Téquation (26) on déduira une nouvelle équation
Ces deux équations (25) et (27), auxquelles satisfait B, sont d'ailleurs distinctes, puisqu'elles ne renferment pas les mêmes lettres; en écrivant la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles aient une racine commune, on obtiendra la relation qui lie ensemble trois quantités consécutives
^n-hly ^n et 3t/t— 1,
et cette relation permettra d'obtenir ces diverses quantités par voie récurrente.
La valeur de la racine commune donnera B, et par conséquent Qn; enfin, la valeur de C se déduisant de celle de B par le changement de n en n — i , la formule (22) donnera la valeur de P/,.
SUR
LA FONCTION EXPONENTIELLE
Bulletin de la Société mathématique de France j t. VIII; 1880.
1. Soienla, 6, c, ...,/, m quantités arbitraires et F, F,,F2, ..., Fm-M f^^ polynômes entiers en x. Si Ton désigne respectivement par a, ^, y, ... X les degrés de ces polynômes et si l'on pose, pour abréger,
on voit que, dans l'expression
V = Fe«*-+- Fi6*'-+- F,e**'-+-. . .-+- F,„>,e",
figurent les u 4- m coefficients des polynômes F, F<, . . ., F;„,. En donnant à l'un d'eux une valeur arbitraire, on peut encore disposer des (ix 4- /?î — i) autres coefficients de façon à annuler, dans le développement de V suivant les puissances croissantes de x, les coefficients de
TwO ^1 ft nrlL-^nt — t
Les polynômes F, F|, . . ., Fm^^ étant ainsi déterminés, le développement de V commencera par un terme de l'ordre de j:H'+'»~*. Dans une Note publiée dans le Journal de M. Borchardt (*), M. Hermite a donné une méthode très simple et très éléganle pour déterminer les valeurs de ces polynômes. Depuis, dans le cas particulier où tous les nombres a, ^, y, . . . , X sont égaux à un même nombre /i (*), j'ai rattaché la recherche de l'expression V au développement de e^^ suivant les puissances croissantes du polynôme
fi,z) = {z-a)(z-b)(,z-c)..,{z-l),
(' ) Lettre de M. Hermite à M. Borchardt (Journal de M. Borchardt, t. 76). (') Sur le développement d'une fonction suivant les puissances croissantes d'un noh'nôme ( Journal de M. Borchart, t. 88 ).
