Sun L'Éuii\Tiot« i (;-"*(i) (/j = o
i6. Appliquons les résultats précédents au cas où ¥{x')^e^; le développement de cette fonctioo est, comme on le sait, convergent pour toutes les valeurs de la variable ei ne présente que des coefficients positifs.
Soit l'équation
où les nombres cti, ocj, ...,«„ vont en décroissant et sont, du reste, positifs ou négatifs.
Celte équation a évidemment les mêmes racines que l'équation suivante
A, e'*+'.'-r + \j e'*-*-"." -t- . . .+ AS,*-^'^'' = o,
où /- désigne un nombre positif arbitraire que l'on pourra toujours choisir de telle sorte que les nombres (A- + a., ), {k -1- a,), . ■ . , {k -\-!t„) soient tous positifs.
En appliquant le théorème du n" 14, on voit que l'équation (i) a au plus autant de racines positives que la suite
Supposons maintenant que les nombres pti, «a» • • • ? a,^ soient les différents termes d'une progression arithmétique dont la raison soit très petite et dont le premier terme et le dernier terme soient respeclivement — a et — 6; je suppose a<ib. Les coefficients Ao, A|, — étant complètement arbitraires, on voit que Téquation peut, quand la raison de la progression tend vers zéro, se mettre sous la forme
(2) I e--'4»{z)dz = o,
OÙ 4>(z) désigne une fonction entièrement arbitraire, continue ou discontinue d'une façon quelconque, pouvant par exemple être nulle dans autant d'intervalles qu'on le veut.
D'autre part, le nombre des alternances de la suite (A) est au
plus égal au nombre des racines de l'équation / 4>(^)rfj: = o,
qui sont comprises entre a et 6 (il pourrait lui être inférieur au cas où cette équation aurait dans cet intervalle des racines d'ordre pair de multiplicité); d'où la proposition suivante :
Le nombre des racines de V équation (2) est au plus égal au nombre des racines de Véquation j ^(x)dx = o, qui sont comprises entre a et b.
On peut évaluer autrement le nombre des alternances de la suite (A); partageons à cet effet l'intervalle compris entre a été en intervalles tels que, dans chacun d'eux, la fonction ^(x) ne soit pas constamment nulle, soit continue et de même signe.
On pourra, en posant ainsi
Jf e-^^^{z)dz a
e-^^i{z)dz-h j e-^'4»i(z)dz-h,..'¥- j e--^^n{^)dz,
- *^fl ^ (In
énoncer la proposition suivante :
3o ALQKBRK.
At' nombre des racines positives de rét/uation [j.) est au plus égal au nombre des alternances de la suite
a ^ Il
17. Comme application des théorèmes précédents, posons a= o, If =z zc et
oii les a, désignent dos nombres positifs quelconques et F la fonclion culérionne de seconde espèce.
LVipiation I e~^^^{z)= o devient
et j*observe que le nombre de ses racines positives est précisémenl égal au nombre des racines positives de Téquation
n\uilre paru Téquation f 4ï<^.r»//.r = o devient
et il rt*suhe de la proposition prêcédenle que le nombre des raoino'i |Hisilives de IVqualion ii^eslau plus égal au nombre des racines positives de réqualion \ ?\.
IS, i'.on>idér«>ns Tèqualion du degré n que je niottniii sous la forme où bi désigne un nombre iH^sitifou nul.
SUR LA TIIKORIE DES KQl'ATIONS NUMÉRIQUES. 3l
Il résulte de ce qui précède que Téqualion (i) a au plus autant de racines positives que ré([ualion
r(w-+-i; r(a>-r--2; r((o-f-3) r( co-i- n -h I)
ou encore que Téquation
oi H- I (a)-r i)(a) -i- '>.) ((o -t- i)(co-i-2;. . .(to-+-/0
0) désigne, comme je Tai dit, une quantité positive quelconque ou zéro.
La même chose a lieu à Téj^ard des racines négatives, comme il est facile de le voir en considérant les transformées en — x. Eu particulier, on peut énoncer cette propriété importante :
Si V équation (t) « toutes ses racines réeiles, V équation (2) a également toutes ses racines réelles.
19. Soit le polynôme a^ -{- a^x -{- a^x^^-{- a^x^ \ formons. le produit
où les U/ sont des fonctions de z. Comme il est aisé de le prouver,
OQ a généralement — = U/<, en sorte que toutes les fonctions
d'indice inférieur à U/ sont les dérivées successives de celle-ci. On a évidemment
atkX^ aîX* -^ a^x'-^ a^x^-^
d'où Ton voit que l'équation U|= oa autant de racines réelles distinctes de zéro que l'équation
a^x aix^ «0^'
Or cette équation a, en vertu du théorème précédent, toutes ses racines réelles si 1 — a est plus grand que zéro, et si Téq nation «o-f- a^ X 4- a^x- -\- a:iX^ = o a elle-même toutes ses racines
3i ALGÈBRE.
réelles. L\'(]iiali(>n U| = o a donc égalcmenl toutes ses racines réelles, si i est ^ 2, et la même proposition a lieu à Tégard des é<|untions U2= o, U< = o, puisque U, et U< sont les deux premières dérivées de U3.
Cette démonstration s'étend d'elle-même à un polynôme de degré quelconque; d'où le théorème suivant, qu'il est aisé, du reste, d'établir directement :
Soient /(x) un polynôme quelconque décomposable en facteurs réels du premier degré et
U| désignant un des coefficients quelconques de ce développement, r équation en z
a toutes ses racines réelles,
20. t\,r') désignant, comme plus haut, la fonction e**f{x)j posons
V* désignant un quelconque des coeflicients de ce développement, posons Va = ^\z\^ en sorte que V^^i = ^'t 3), V'a j== 5'(-5), ... ; Téquation ^^5 -r /) = o a, quel que soil z^ toutes ses racines réelles et elle peut s'écrire
ou
ou encort^
t>u onlîn, eu vh^uiceant h on ,r, / on - ot on chassant les dénominateurs»
F r - XF X ; - ^^-H^L r x r-
SUn LA TIIKOIUE DES ÉQUATIO:ÇS NUMÉRIOUES. 33
et Ton voit que celte équation en / a, quel que soit x, toutes ses racines réelles.
Si donc on écrit le système suivant
F(a-)-4-2/F'(ar)-h t^F''(x) = o,
F(x)-^ 3/ F'(x) -\-3t^r''{x) H- t^F'^ix) = o.
on voit que, pour toute valeur de x, ces équations ont leurs racines réelles. Il en serait de même des équations
F' (:r) H- tF' (x) = o, F' (x) -f- a/F" (x)-+- t*F"'(x) = o,
F'(x) H- tF'^ix) = o. F'(x)-^itF'"(x)'ht^F'^(x) = o, ... ;
Ja dérivée F(j;) ayant pour valeur e^^[^/(x) H- ^/'{x)'] et l'équation/(j:) -h 3/'(a:) = o ayant toutes ses racines réelles, il est clair, en effet, que F'(^) est une fonction de la même espèce que F(ar), et il en est de môme de toutes ses dérivées.
21. Les propositions précédentes s'établissent du reste très facilement, quand on les suppose démontrées, dans le cas où F(:r) est un polynôme entier; il suffit de remarquer que e^^f{x) peut
être considéré comme la limite du polynôme f n \ f{x)^ qui
est décomposabie en facteurs réels du premier degré.
La même chose a lieu à l'égard de la fonction e""-''* *"*•*"/( ^), où je suppose u positif; cette fonction peut être, en effet, considérée
comme la limite de [ I ) (n ) f{^)'i "^ais les propositions précédentes ne s'appliqueraient pas à une fonction de la forme e?f^^/(x), si le polynôme ^{x) était d'un degré supérieur au second, ou si, étant du second degré, le coefficient de x^ était positif.
Ces remarques très simples trouveront d'utiles applications dans la théorie des fonctions transcendantes.
22. En effectuant un changement de variable, le théorème établi au n" 18 peut s'énoncer ainsi qu'il suit :
L équation
3'| ALUÈBRK.
avant toutes ses racines réelles, il en est de même de Inéquation
flQ H -h ; ; : -h ; ;^ —— h . . . = O.
a H- o> (a-f- tu)(aa H- o> ) (a -i- (i>)( 2a -f- ti>)( Ja -h w)
oà OL et iù désignent des quantités positives quelconques, la dernière pouvant être nulle. De là résulte que, élant donnée une équation ayant toutes ses racines réelles, on peut en déduire une infinité d'autres qui jouissent de la même propriété; en appliquant une seconde fois le théorème précédent, on voit, par exemple, que l'équation
( a -h a>)(a'-+- w') (x H- a>) (aat -H w)( a'-+- w')(2a'-hcu')
(a -H w)(2a-H to)(3a-f- w )(a'-4- cu')( 2a'-+- w' )( 3a'-i- co')
a toutes ses racines réelles, 7! et to' étant assujetties aux mêmes conditions que a et co.
Soit, en général, ^{x) un polynôme d'un degré quelconque décomposable en facteurs réels du premier degré et ne devenant négatif pour aucune valeur positive de la variable, en sorte que B( j*) soit de la forme
rt(.r) = xP{ax->r b)*i{^a' X -^ b')9'ia X -^ b' yr
les nombres />, y, q\ q", ... étant des nombres entiers ou étant égaux à zéro, a, a\ a". ... et 6, b\ A", ... étant des nombres positifs, on verra aisément par ce qui précède que Téquation
a toutes ses racines réelles.
Mais on peut donner une plus grande généralité à cette proposition: Téquaticm {\) ayant, en effet, toutes ses racines réelles, il en est de même de Téquation
I — CD (|-i-fO>(| — 2C»>> « I >^ cuHi -1- 2M Kl -f- 3fu) *" ^'
par suite do IVquation
<i|X rtjx* <i,jr* CT^ -*- ^— — — -♦- ^ =0
(I — tôt* i^l->- tù\*{l -^ Jta)^ i I -^ M^U -^ ^M»^1I -^ 3m>* '*** '
SUR LA TIIKORIE DES ÉQUATIONS XUMÉIlIQUKS. .'îj
et en général de l'équation
OÙ A* désigne un nombre entier quelconque.
Faisons maintenant croître indéfiniment le nombre arbitraire
positif- et le nombre entier k, de telle sorte que A'o) ail pour
limite log-y q désignant un nombre positif quelconque égal ou
inférieur à l'unité.
L'équation précédente deviendra
et elle aura toutes ses racines réelles; il en est de même de Téquation obtenue en changeant q en w- et or en —>
co désigne une quantité réelle quelconque, dont la valeur absolue est au plus égale à l'unité.
Des considérations que je viens d'exposer résulte immédiatement la proposition suivante :
L'équation (i) ayant toutes ses racines réelles y l'équation
^®"^lB(îy '*"e(i)e(2)"*" 0(1)0(2)9(3)"^"*"^ 8(1)0(2). ..e(Ai) """
a également toutes ses racines réelles; B(x) désigne un polynôme entier quelconque satisfaisant aux conditions ci-dessus énoncées et co une quantité réelle quelconque, dont la valeur absolue est égale ou inférieure à l'unité.
