En particulier, si m = 3, Téquation (i) peut s'écrire

arf^" — (a -t- b -Hc)y-h («6-+- bc -\- ca)y*^ abcy]

— j(a -t- 3 -f- Y).r'— [a(6 -t- c) -+- 3(c H- rt ) -+- v(a -+- A)]y

-+-(oLbc -^ p ca -+- ^((tb )y ! = o.

En supposant, ce qu'il est toujours permis de faire sans nuire à la généralité du problème, que

•2Ji

Téqualion précédente devient

( — ja-+- 3 -h y)^' — [«{^ -h c) -h cp -H «yJ^'h- oibcjri = o.

Je me propose, dans ce qui suit, de démontrer directement celle équation.

4. Soient F, F| et F2 trois polynômes en x dont le degré soit respectivement marqué par les nombres a, ^ et y; on peut disposer des coefficients de ces polynômes de telle surle que le développement de {^expression

V = Fh-F,c*'h- F,tf"

commence par un terme de Tordre de a:*"*"^"*^"*"^.

On a donc

F -+- F,e^'-i- F,e<^'= ( xx-^P-^Y+« ),

ou, en faisant, pour abréger, a 4- j^ -h v = [x,

F -4- F, e^' -+- F, e<^' = (tI*-»-« ) ( » ).

En formant successivement la première et la seconde dérivée de la relation (3), il vient

F'^. ef>'(F\ 4- ÔF,) -+- e<^^( b\ -^ cF,) = (xl*+»)

et

( ;->) F' -h e^'(F; 4- 'ibF\ 4- 6«F, ) -+- eC'r( f; -h 7.cF; -+- c*F,) = (jrî^), lin résolvant les étiualions (3), (/j) et (5), on a

^sF,

F, Fï

cF,