CF
cF, ;tcF;
c«Fi
(') Ici, comme dans tout ce qui suit, je désigne géacralcment, indépendamment de la nature (les rocfficienls, par {xP) une série ordonnée suivant les puissances croissantes de x et commençant par un terme en xf.
SUn LA FONCTION KXPONFNTIKLLK. 339
d'où il résulte que A est divisible par xf^, et, comme d'ailleurs cette expression est précisément du dej^ré a, on a
M désignant une quantité constante.
o. Je pose, pour abréger,
puis
et enfin
Uif' — i'//'= <r. u'v" — v' u" = (0.
Comme on a évidemment
f-ftX
Y" f,-hx n"
on en déduit
-lA+r) „,'
et
Considérons maintenant l'équation dilTérentielle
-ex
que Ton peut écrire
(6) py Qy+R^ = .M^{..
C^elte équation est satisfaite quand ou y fait y = F; la même équation est également satisfaite quand on y fait y =z u ou j' = i-, pourvu que l'on y remplace la constante M par zéro.
Si donc on élimine, par dilTérentiation, la constante M de l'équation (6), Téquation que l'on obtient
Pj-^"-*-(P:r'— Qx— 3/iP)>'
-h ( R.r — Q't-+- 3/ï Q )/-!- ( Wx 3/1 R) j^ = o
a pour solutions
y = ^\ y = if t'i j=p;
34o ALGÈBRE.
c'est, par suite, l'équation à laquelle satisfait rcxpression V. En v remplaçant l\ Q et R par leurs valeurs données plus haut, elle prend la forme suivante ;
[ wxy'^ — [(b -^ c)T -^ II] wy" (A) ' -h [xw H- jr( ^ -f- c)m'' — xw" -k- iLw']y'
\ -+-[;ra)' — (6 H- c)arto — [ito]^ = o.
6. Pour simplifier cette équation, je remarque que réqualion (6) a une solution entière, à savoir le polynôme F. Il est facile d'ailleurs d'intégrer cette équation, puisque l'équation obtenue en retranchant le second membre,
a pour solutions
y = Il et y = V.
En employant donc la méthode connue de la variation des constantes arbitraires, je poserai
y = A u -f- Ji p, puis
A'w-f-B'r = o et A'«/'-H B'r'= ^^
On en déduit
A' = ^^^ e-f>- F, dx, W = - ^f^ e-c^F, dx
y=^\F, ef>^ f-Ç^ e ''^ F-, dx - M F^ e^^ f ^'^ e-c^ F, dx. Comme l'une des valeurs de y est le polynôme F, on voit que
l'intégrale
rxv- .1 V^'~
f'^F.dx
ne doit renfermer d'autre transcendante que la fonction e~*-^.
En clési;;nant par À une racine quelconque de l'équation P = o, posons
1'=^ ^ jLàx — l Ad{x-\Y'
