XI

8UU LA FONCTION ( ) • 3^5

2. Je rappellerai d^ahorcl les résultais obtenus dans la Noie que j'ai présentée récemment à la Société Sur la réduction en fractions continues d'une fonction qui satisfait à une équation linéaire du premier ordre à coefficients rationnels.

Soit proposé de réduire en fractions continues une fonction z satisfaisant à Téquation dilTérentielle

où U, V et W désignent des polvnomes entiers en jr, et soit ^

la réduite de rang /?.

Keprésenlons par H,, un polynôme entier du degré de

et par An une constante. dont la valeur ne dépend <|ue du nombre entier n et est actuellement indéterminée; on a

/A U H-/„ o,, V - ( -y,,/,, - /'« On ) \V = A„ H„ ,

et l'on voit que ff satisfait à une équation linéaire du second ordre de la forme

wy-hVVoy-h\v,j. = c>,

OÎI

Wo = Vh- W - W ^ <'t \V, = ^ ,

K/i désignant un polynôme entier en x.

Une seconde solution de cette équation est donnée par la formule

En posant de plus, pour abréger,

on a les relations suivantes :

La première de ces relations détermine le degré et la forme de û» ; on déterminera complètement ce polynôme en exprimant que, pour une valeur convenable de P,,, l'expression

u — eJ ^ satisfait à Téquation différentielle

3. La fonction z= (- — -) satisfait à l'équation différentielle

dans le cas actuel, nous avons donc

\V=a7» — I, V = — 2(1) el U = o,

d'où il résulte d'abord que 0„ est une constante que nous ferons égale à — i .

est

(i) (t*— i)y-h '>{x ^ ti})y— n(n -^i)jr = o.

Nous déterminerons P„ et Q„ par la condition que u = e^-*"*— » satisfasse à l'équation

(jr^ — i)u -h -lix — io)u' — I n(/i -t- i)h ^-^— w = o.

Qft étant du premier degré en x, u est de la forme (x — i)*(x-|-i)?; . en substituant cette expression dans Téquation précédente, on Irouve les équations de condition qui suivent :

(a-hP)(a-f-3-M) = /i(n4-0, a— 3 = («

V„^. n(n -^ i) - ( 2 -^ ':i) — io^. On pcul y satisfaire de deux façons différentes.

En premier lieu, on peut poser

a -h P = n, d'où \\= n^— M-

On en déduit

x^ — i//iH-to n — w\ U,i = ( \ ) = /i jT -h w ;

2 \ iT — I J- -+-1/

mais il est facile de voir que cette solution ne convient pas à la question. En effet, en posant /o'= i et faisant n = o, on aurait, en vertu de la première des formules (A),

/, = — to,

ce qui est impossible, puisque /i est nécessairement du premier degré en x.

Posons donc

a-h ?= — (n-hi), d'où P„= (/n- i)«— w« et

to — n — I ,. tu + /i -h I

On en déduit

12,, =: ti) — (/i -h l):r,

et les formules (A) deviennent

(->) (a:«— i)/;, = [to — (/n-i):r ]/;,-+- /„^,,

En changeant w en — to, on obtient encore les formules suivantes :

(3/ 0„H.,— (2/1 -f- l)37©„-f- ( /l*— tli»)o«, = o,

On a d'ailleurs

.V|8 ALOKniu:.

Au moyen de ces formules, on trouve ces valeurs des premiers polynômes :

fz= i5j7»— iSwjr'-H (6<u*— 9)a? — to(<u' — 4)-

Du reste, l'équation (i) s'inlt'grant au moyen des séries hypergéométriques, on obtient ainsi aisément l'expression suivante :

//» = (— l)'*(w -l-i)(io -+-2)...(a) -+- « )

[^n n-^\ l\-\- X \ nin -^i) (n -hi){n-^ i) /i-t- x\^^ I tuH-i \"~ / "^ TTû fw^Oi. w -f- -2) V ^ /

'^'^ ("w^ I ) ( (O -4- -2 ) . . .( tO -^ A4 ) \ .X /J

Des formules (4) et (5) on déduil, en y faisant x= i et en remarquant que '^«(to) =//,( — co),

ce qui concorde bien avec la valeur trouvée pour V,,.

4. Si Ton désigne, en général, par S;, la somme des /:>**"'*^* puissances des racines de l'équation /,,= o, on a

Si = 83= Sj — . . . = Ss,i i — u> (*);

cette propriété est caractéristique du polynôme y,;.

Je ferai encore les remarques suivantes. Posons, en ordonnant /fi par rapport aux puissances croissantes de co,

/„ — \\ H- (0 f>, -4- (oî Pj -h . . . -f- W" P„.

De l'équation

\^^=^/ ~ Po-T-toP,-h(uîI\-4-... "^ Vx»'»"^»/

on déduit, en développant les deux membres suivant les puissances croissantes de to et égalant les coefficients de la première puissance,

(M Voir, à ce sujet, ma Note Sur un prablème d'Jlf^èbre i liuUetin^ l. \ .

) • .'i^iy

d'oïl il résulte que ~ est la /i*'"'"*' réduite de la fonction

En désignant, en eflel, suivant Tusage ordinaire, par X« le polynôme de Legendre et par n(/i) le produit i .2. . ./i, on a

Po=n(n)X«.

Désignons, dans/,,, par H (or, a») Tcnsemble des termes homogènes et du degré n par rapport aux deux quantités ^ et w; on verra aussi facilement que H(i,w) est le dénominateur de la

,iun,c réduite de e*.

o. La réduction en fractions continues de la fonction ( |

est liée intimement avec le développement de la fonction (x-\-z)*^ suivant les puissances croissantes de(;;^ — i). Soit, en elTet,

(7) (, + ,)u,= 2(v«-^u„)ii;j=;iJ^.

Pour obtenir ce développement d'après la méthode donnée par Jacobi (*), nous poserons

(z -^ jr)<^= bi^x^-T- bxx^-^z -h. . .-r- biX^-' z^ -h. . .

et

Si, dans le produit des deux séries, nous prenons l'ensemble des termes — * -+- ^ qui sont du premier et du second degré en -,

nous voyons aisément que B^ est de Tordre x^~^"~^ et B2 de l'ordre de z^"'^^. Or V„4- sU/j est la partie entière de

(*) Entwickelung nach dcn Potenzcn cines gnnzen Polynoms {Journal de Borchardt, t. 53, p. 10')).

35o ALGÈBRE.

on a donc

cl, par suite, U,, est de Tordre de j-w-2/1-1^

G. Ce point essentiel étant établi, en dérivant successivement par rapport à x et par rapport à z l'identité (6), j'obtiens les relations

d'où les identités On a de même

d'où

et

toU«=V;-4-:rU'„.

On en déduit aisément les solutions suivantes :

{x'^— 1) UJi-f- •j.t{h -i-i — w)U^ — ai('2/t -h i — to)U« = o,

{x^— i)U,n-iH- 1(7. /i -+- i;r*^ .>.(.> — f\n — i]U„

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