Un calcul direct donne

Uo = (x-h l)w — ( jr — i)w, Ui = (x-h i)«^-*(u) — I — ar) — {x — 1)^-^(1 — lù — X),

et la dernière des formules précédentes permet de calculer facilement de proche en proche les diverses valeurs de U«. On voit que U/< est de la forme

où F" et<^/, désignent des polynômes entiers en x du degré /i, et, diaprés la remarque que j'ai faite ci-dessus, on a

/ x^ \ d'où

ce qui montre que ^ estlan"'"® réduite de (—3-) • Par suite,

F^ et ^n ne diflerent que par un nombre constant de /"«(co — n) et de o„((ù — n); si d'ailleurs on désigne, pour un instant, par M,, le coefficient de x^' dans F^, on déduit des formules précédentes

Mn+i= — {-1 n -h l)Mn

et

d'où Ton voit que

Vu = (— i)V/»(^ — '0» */* = (— i)««>/i(co — n) et

U„ = (—!)«[( ar -M )«-«/„( co — n) — (j: — i)w-«o«(to — n)].

Transformons les relations (B) en posant

puis changeons ensuite w en w -4- /?.

On trouvera tout d'abord, comme nous y sommes arrivé par

35â ALGÈBRE.

une voie (lifTércnlc, que/*,, satisfait à réqiialion du second ordre(i), puis les relations suivantes :

/„H.,((ii — i)= [(/i-hi)ar-f-/i-hi — w]/«(u>)H-a:(ar-+-i)/;j(a)), (j- — i)/«-».,(tt) — i)-h[(2/i-f-i)j:*-i-2aj — 2/1 — i]/«(w)

-+- (2/1 — w)(2/i — w — i)(arH-i)/«i(u>-4- I),

d'où, en éliminant/,, (w) au moyen de la formule (2),

(8) (ar— i)/„+,(w — i) = ((o — /i — i)/„(u>)-+-ar/«4-i(w).