De la formule (7) on déduit

^ ^ ' âU •i"-*-»n(/i)

d'où, en intégrant entre les limites 1 et z^

^ (.^ ,)a>^i -I- (co -^ ,) y Mfirzi):!!! .

Posons ^ = I -h ^^; il viendra

= (x -h i)^-^^ -+■ (x — i)^-^^ -^ (^ -»- 0 ^ ^n^iûin H- I) ^^"^ "^ 0^-V//(^'^ - /i) - (.r ^ i)co-/. çp^(a, - ;t)p^i.

Cette équation se décompose évidemment en deux autres, dont Tune est

(9) \ . ^\? (—ly

^^'^-^'^IIï^iitVtT)^^^')"""-^''^^-''^'^^^^

Changeons, dans cette formule, / en - et x en -— ; il viendra

SUR LA FONCTION I J • 3.)3

d'où, en vertu de la formule de Tavlor, et, en changeant w en w -f- /?,

\>Jx) (to -H /l -t- l) (^1 H- V-rj "-^

en particulier, pour les polynômes de Legendre, on a la formule

fi-4-1

9. En désignant, pour un instant, par Y,^ la série hypergéométrique

j'-i-iX n{n — i)(/iH-i)(/i-+--2)

n n -^\ I I ttj -h I \

on a

en se servant de l'expression remarquable donnée par Jacobi pour les polynômes qui proviennent de la série hypergéométrique (*),