La fonction
satisfaisant à Téquation diffcrentielle
( « ) Jacobi, Untersuchungen Uber die Dijfereniialgleichung der hypcrgeotnetrisctien ReUie {Journai de liorchardt, l. 50, p. l'io).
on en déduit aisément que la fonction
satisfait à l'équation
En la dilTérentiant /> fois de suite, on obtient la relation suivante :
(»>-.)i.ii~«-
Comme elle ne dilTère de l'équation précédente que par le changement de w en (<u — p), on en conclut que la />''"" dérivée de (x + i)'"fn ne diffère que par un Tacteur constant de In fonclion (x-f- i)"~'/n(""— /*)■ Ce facteur se détermine facilement, et l'on obtient l'identité suivante :
df
{T-A-irM^'<^) =
y-PM:r,t^
En particulier, si l'on fait (u ^p, il vient ;
Si, dans cette formule, on tailp^n, comme
on retrouve la formule connue, due à O. Rodrlgues.
"" a"ll(n) dx"' ' *
11. La formule (i3) montre que, p étant uu nombre entier ; positif, {x + i)P fn{x , p) peut s'obtenir en intégrant plusieurs
fois de suite le polynôme X„. i
CoDsidérons, d'une façon plus générale, l'expression j
bre quelconque oositîf.
SUR LA FONCTION (
En Inlégranl par parties, on a
ti>
Cl, en partant de Texpression
on trouve aisément
\'{— \)rrz —V ! ( ,« -4- , ) ( ,t -^ 7. ) ^ - ,
on en déduit
nw r
-f- •>. ) / vT -^ I
011 la quantité entre crochets est, ù un facteur numérique prés, le polynôme /„, d'où Tidenlilé suivafite :
<i4) /„(.r,o>)= "/'"^^"'(■r-^l)-'- / (.r- ;;)'-i\,.(i)rf;.
Cette formule suppose essentiellement cpie to est positif; comme l'on a
on a également, w étant» toujours supposé positif.
On en déduit, en remarquant (jue fn{jc, — (o) = 'f«(x, to),
3jG alukbre.
Si donc on pose
on a, en vertu d'une formule connue,
d'où
42. Si, dans la formule (12), on fait (0 = 0, et si l'on remarque
que
/n(T,o) = n(/i)Xrt,
il vient
dP
/n(x,^p) = n(n - p){x -^ l)P -^^Xn]
dans cette identité, p désigne zéro ou un nombre entier positif inférieur à (n + i). Nous pouvons en déduire aisément une expression nouvelle de la fonction — r=^^^ r ; posons, en
effet,
u)(u> -f- i). . .(œ -h n) tu w -h I vj -\- i eu -f- n
D'une formule élémentaire biep connue il résulte que Ton a
OU, en vertu de Tidenlité précédente,
(— ly, ,. d' ^,
et de là
w(w H- i). . .(tu -H /i) ^'^^ 1 X„ Çr + i ) X^ . (:rH-i)« X; (:r-hi)» X^
10 I (JO -h I 1.2 W -4- 2 1.2.3 CO -f- 3
( * ) Sur ce développement, voir le Mémoire de M. Bauer, Von den Cœfficienten der Reihen von Kugelfunctionen einer Variabeln {Journal de Borchardt, t. 56,
p. ici).
su H LA FONCTION ( j • 357
Si, dans cette formule, on change :r en — jc et to en — w, et si l'on remarque que /( — x^ — w) r= ( — \y^f{x^ o)), on obtiendra encore la formule suivante :
(i>((ii — i)...(to — n)
\ L to 1 to — I I . i O) '2 I . 7. . 3 tu — 3 J
13. On sait que les racines de Téquation X;, = o sont toutes réelles et comprises entre — i et -1- i ; désignons respectivement, pour un instant, par a et ^ la plus petite et la plus grande de ces racines. Si x désigne une quantité quelconque comprise entre — i et a, on voit que (jc-f-i) est positif, et il suit du théorème de Fourier que la suite des quantités
ne présente aucune permanence de signe; l'équation (i5) montre
que, dans ce cas, Téqiiation y(j:, w) = o peut se mellre sous la
forme
