ABC L

to to -+- 1 ta -\- 1 M -\- n

A, B, C, . . ., L désignant des coefficients ajant tous le même signe. Par un raisonnement bien connu, on en conclut que toutes les racines de l'équation y(x, w) = o (où (o est regardé comme inconnue) sont réelles et séparées par les nombres

o, -T-i, -4-7, ..., -r-(// — I) et -r- n.

On déduirait de même de la formule (i^y que, si la valeur de x est comprise entre ^ et -I- i » l'équation /n{Xy to) = o a /i racines réelles séparées par les nombres

t), — I, — •>. '-(n — I) or — n.

ii. La fonction y,; satisfaisant à T^qualion

(i) {x^ — i)y" -h '.fAT (o)v' — //C// -4- 1 ) r — o,

358 ALOKBnE.

on voit que -^ satisfait à Téquahon

du)

dfn

u'— ni n -h Dit ==2, -T— •

En désignant p'àr y une solution quelconque de Téquation (i), on déduit de là

{jr^—i)(yu''— uf) -+■ i{x — w) iyii — uy') = 2 -^ y.

d dx

fi {

puis, en intégrant et en remplaçant // par ^'->

''j\x-^) dx^ \x-i) ^ ^^Ydxdiù di^ dx)

Dans cette relation, faisons d'abord il viendra

Faisons, en second lieu.

nous aurons

Ç *Un , , , , / d\fn dfn r/o«\ df„

Reinplarons, dans le second membre de cetle éo;alilé, -7— ^"-

fin

par sa valeur lirée de Téqualion ( .>.) et -if-^ par sa valeur tirée de r('qnalioii (■>)': il viendra, toutes réductions faites,

I ' dr ' ' ' mi) • mo

SUR LA FONCTION

d'où encore, en changeant w en — w,

On déduit de là Tidentité suivante, où K désigne une quantité indépendante de x :

d/n-i-i dfn ^ . d^n r d^n^i ,,

SLR QUELQUES