Soit, comme application de ce théorème, l'équation

(iH- ar)'»= I 4- nx n .r*-r-. . .-î- nx'^-^ -h ar'*= o;

co et B(j:) conservant la même signification que ci-dessus, je poserai

^, ntûx n(n — i) ta^x^ to"Vr«

36 ALOkORE.

Les polynômes de celle forme jouissent des propriélés remarquables suivantes :

i'' L'équation F(j:) == o a toutes ses racines réelles.

•i" Les diverses dérivées de F(j:) s'expriment au moyen de po- Ijnomes de la même espèce.

On a, en effet,

cv X nw f bi^x {il — i)(/i

— l)(/i — i) ta^x*

(/t — i)(/i — a)(n — 3) fa>'»a^

Si donc on pose B(jr -h i) = H(j') et

<I>(jr) = 1-4- - ' ^

(/i — i)(/i~i)(/i — 3) fa>*j»

Tïl H(i)H(2)H(3)'^**'

il vient

or <^(j') est un polynôme de la même espèce que F(x), puisque H(j') est décomposable en facteurs linéaires réels du premier degré et n'est jamais négatif pour aucune valeur positive de X,

Ce que je viens d*élablir pour la première dérivée subsiste encore évidemment pour les dérivées suivantes.

[\^ Si Ton pose, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire,

les équations V(x) = o et W(x) = o ont toutes leurs racines réelles et, plus généralement, a désignant une constante réelle quelconque, IVquation

a toutes ses racines nielles.

Pour le démontrer, il suffit de remarquer que cette équation

peut s'écrire