PA.PB...PM = PA'.PB'...PM

or de là résulte immédiatement que x ne peut être imaginaire. Car, en supposant, par exemple, que le point P soit situé audessus de Taxe OX, on a

PA<PA', PB<PB', ..., PM<PM', inégalités qui sont incompatibles avec la relation (2).

Dans le Mémoire que vous avez bien voulu insérer l'année dernière dans votre Journal, j'ai donné une formule de quadrature (^Sur le développement dUine fonction suivant les puissances €r un polynôme y t. 88, p. 46) qui appartient en réalité à M. Hermile. L'illustre géomètre l'a démontrée dans sa Note sur la formule d'interpolation de Lagrange, insérée au tome 8-i de votre Journal (p. ^5). II est clair, du reste, que nous devions arriver au même résultat; le but que nous nous proposions était effectivement le même, à savoir de déterminer avec la plus grande ap-

proximalion possible l'intégrale / f[x)(lx^ quand on se donne

les valeurs de /"(.r) et d'un certain nombre de ses dérivées pour jr = a et jc = ^.

363 ALQKBHE.

Seulement, tandis que M. Hermite prend pour point de départ

les propriétés des réduites de la fonction logf j; je m^appuîe

sur les propriétés des réduites de e^; on aperçoit, dans cette circonstance, le premier indice d'une liaison singulière entre les réduites de fonctions si différentes, liaison que les considérations suivantes mettent, je crois, entièrement en évidence.

Soit, pour plus de généralité, F(x) le dénominateur commun des fractions rationnelles de même dénominateur qui approchent le plus des fonctions f?*^!-^, e^t^, ..., e'^-^^en sorte qu'en désignant par N«= n\iL \e degré deF(x) et par ^i {x), ^2(^)» •• • ^Jes polynômes de même degré convenablement choisis, le développement des fonctions

b\ j? ) e'^njr — *„ ( j: )

commence par un terme de Tordre (N -|- [jl -+- i).

En désignant par z une nouvelle indéterminée, je considère le développement de F(^)^^-^ suivant les puissances croissantes de X et pose

Vous remarquerez tout d'abord que la fonction de z que je désigne par A^+ijL estdivisible par ^i*; en second lieu, en dérivant par rapport à :; Téquation précédente, on a

F(^) e-^ = -3-' j*/'->; dz

d'où Ton voit que chacun des coeflicients de la série précédente est la dérivée du coefficient qui suit immédiatement.

J'observe maintenant que, quand on fait z=^ ai, les coefficients A^.^i, Ax^a-» • "f A^^ji s'annulent; la fonction A^^-ja s'annule donc ainsi que ses (jx — i) premières dérivées pour 5 = <r^i, et, par suite, elle est divisible par (z — at)^. On prouverait de même qu'elle est divisible par (z — ft^)^-» (^ — a^)^^ •••*» j'^^' d'ailleurs montré qu'elle est divisible j>ar z-^^ et comme elle est du degré \ -f- a, en posant, pour abréger,

fiZ)— ZV-{Z — rt| )M(^ — ai)^'. . .( - — fin)^.