CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

DU SECOND ORDRE

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences,

t. LXXXVI; 18G8.

La Note que j'ai l'honneur de présenter à T Académie est Textension au cas de l'espace des considérations géométriques très simples au mojen desquelles Jacobi a appliqué les propriétés des sections coniques à l'intégration de l'équalion d'Euler qui sert de base à la théorie des fonctions elliptiques, considérations que j'ai moi-même développées dans le Bulletin de la Société Phi- /o m a t hiq ue {'à \ril 1867).

Je m'appuierai sur la proposition suivante, que Ton peut déduire facilement d'un théorème bien connu de Newton. Soit ¥(x^y^ z) ^=0 l'équation d'une surface du second degré, que je supposerai, pour plus de simplicité, rapportée à des axes rectangulaires ; soient de plus deux points quelconques M et N dont les coordonnées sont respectivement r/, b, c et a, p, y. Désignons par a et 7! les deux points où la droite MN coupe la surface considérée. Cela posé, on a la relation

Mg.Mg^ V{a.b,c)

Na.Na' ~ F(a, ^ri)'

Supposons que la droite MN soit tangente à la surface, les deux points a et a' se confondront alors en un seul, et l'on aura

Ma yjV{a,b,c) "^ ~ v/F(a, p,v)*

(considérons maintenant, outre la surface dont je viens de parler

et que je désignerai par S, deux plans parallèles au plan des jry, l'un A dont l'équation sera z = a, et Tautre e\* dont l'équation sera z = a. Soient C et F les coniques suivant lesquelles ces plans coupent la surface. Imaginons tracée sur S une courbe gauche quelconque B et construisons la surface développable engendrée par les différentes tangentes à cette courbe. Cette surface développable sera coupée respectivement par les deux plans A et <JU, suivant deux courbes B et iil). Je désignerai par x et y les deux premières coordonnées d'un point quelconque de la courbe B, et par Ç et Tj les mêmes coordonnées du point correspondant de la courbe iJi> : je veux dire du point où la génératrice de la surface développable qui passe par le point considéré de la courbe B passe par le plan X,

Maintenant, soient T le point où une génératrice quelconque de la surface développable touche la courbe gauche R; M le point où elle rencontre le plan A, et dont je désignerai les coordonnées par X, y^ a] N \e point où cette même droite coupe le plan ^^V», et dont je désignerai les coordonnées par Ç, Tj, a.

Si Ton déplace infiniment peu cette génératrice en la faisant rouler sur B, dans sa nouvelle position elle coupera le plan A en un point M' infiniment voisin du point M, et dont les coordonnées seront x -4- dx, y •+• dy^ a ; elle coupera de même le plan ^ en un point N' infiniment voisin du point N, et dont les coordonnées seront \ -f- rfÇ, f\ -h dr\y a.

Cela posé, les deux droites MM' et NN' étant parallèles, on a évidemment •

Donc, lorsqu'on a une surface développable quelconque ajanl son arête de rebroussemenl sur la surface S, si l'on désigne respectivement par x ely les deux premières coordonnées du point où une génératrice coupe le plan A, et par Ç et r, les mêmes coordonnées du point où cette génératrice coupe le plan ^l,, ces quatre variables satisfont au système d'équations différentielles

dx ^ djry/F(x,y,a)

SUR l'intéoration d'une certaine classe d'équations différentielles. 369

Supposons que la courbe C, décrile dans le plan X par le point N, "*^o\is soit donnée, en sorte que nous ayons une relation de la *orme

I)onnons-nous, en outre, le point qui, sur le plan A, correspond ô un point déterminé de la courbe C, alors le système d'équations (i) nous permettra d'en déduire la courbe correspondante clécrile par le point M; il y aura d'ailleurs deux solutions à cause de l'ambiguïté du signe du radical.

Des deux variables Ç et 7;, une seule des deux étant indépendante, en vertu de la relation (2), le système (i) se réduit alors à un système de deux équations différentielles du premier ordre à trois variables. On peut des équations (i) et (2) éliminer la variable Ç» et Ton est conduit alors à une équation différentielle du second ordre entre les variables^ et j^, équation que je désignerai par

Nous avons immédiatement une intégrale particulière du premier ordre de cette équation; iisuffit, en effet, de trouver des surfaces développables qui aient leur arête de rebroussement sur S et qui s'appuient sur C, et ce problème conduit à résoudre une équation différentielle du premier ordre.

Mais il est facile de voir que l'on peut obtenir immédiatement l'intégrale générale du premier ordre. Imaginons une surface quelconque du second degré S' passant par les coniques G et F. en sorte que son équation soit de la forme

^ijr,y,z) = ¥(x,yy z) -hl{z — a){2r— a) = o.

En appliquant à cette surface les mêmes raisonnements que nous avons faits au sujet de la surface S, nous voyons que si une surface développable, ayant son arête de rebroussement sur S', coupe le plan X suivant la courbe C, la courbe suivant laquelle elle coupe le plan A satisfait au s^'slème d'équations

370 CALCUL IMFORAL.

Mais on a évidemment

Donc le système d'équations (1') et('>/) est identique avec système (1) et (2), et tous deux conduisent à l'intégration Téquation

De même que ia surface particulière R nous fournissait u intégrale particulière du premier ordre de cette équation, no voyons que l'ensemble des surfaces du second ordre, passant les coniques Cet F, nous donnera l'intégrale générale du prenii ordre.

Géométriquement, le résultat obtenu peut être énoncé ains^ étant donnés la courbe G dans le plan X et le point arbitrai ment choisi qui, dans le plan A, correspond à un point donné ^cJe cette courbe; par ces deux points faisons passer une droite ^^l construisons une surface du second degré, passant par les coniqw ^e^^ G etr, et tangente à cette droite. Imaginons une surface dévelo pable qui ait son arête de rebroussement sur la surface du secozJ ordre et qui coupe le plan fX> suivant G, son intersection avec T plan A sera une courbe dont l'équation en x ^l en y sera une solution de l'équation (3).

11 existe un cas particulier encore assez étendu où l'on peut obtenir en termes finis l'intégrale générale de cette équation. C'est celui où la courbe C est une conique.

Dans ce cas, en cfTct, on peut toujours, en désignant par w, i', Kv de nouvelles variables, liées aux variables x, j', z par les relations de la forme

^^^ "=1' "=ÏJ' "=U'

où X, Y, Z, U désignent des fonctions linéaires de x, y^ z^ dclerininer ces polynômes de sorte que, après la substitution des nouvelles variables dans Téqualion ^[x, y^ z) = o, la surface représentée par réc| nation transformée soit, en considérant w, r, iv conime des coordonnées rectangulaires, rapportée à ses axes et

SUR l'intégration d'une certaine classe d'équations différentielles. 371 lit la forme suivante :

Cl qu'en même temps la conique C ait pour transformée la conique, située à l'infini, commune à toutes les sphères de l'espace.

Cela posé, si nous considérons les courbes gauches qui sur la surface primitive S' étaient les arêtes de rebroussément des surfaces (léveloppables coupant le plan cl> suivant C, nous voyons que ces courbes auront pour transformées, sur la surface représentée par l'équation (5), les lignes dont l'équation différentielle est c^5 = o.

Déterminons les points de cette surface au moyen des coordonnées elliptiques, nous aurons

L'équation différentielle des lignes correspondant aux arêtes de rebroussément est donc

r / A— JJL^ ^ / A-v»

^V ({JL*— A-+-B)(jx«— Ah-C) -y (v2-A-+-B)(v* — A + B) "" ^» dont l'intégrale est de

J ^{\-^t)i^x-ir^^)\^\-c~^) J v/(A-v*7(;Â-ii-v*)(A

k désignant une constante arbitraire.

Soit maintenant Pqui, dans la figure transformée, correspond au plan X. Etant donné un point ([jl, v) sur la surface représentée par l'équation (5) on saura toujours trouver le point où le plan P est rencontré par la tangente menée au point ([Ji., v) à l'une des courbes qui passent en ce point et dont l'équation différentielle est rf5= o; on pourra exprimer algébriquement les coordonnées r/, V, w de ce point en fonction de ul, v, et réciproquement [x, v en fonction de a, v^ w. On portera ces valeurs de [jl et de v dans l'équation (6), et l'on y remplacera w, v^ \v par leurs valeurs tirées des équations (4). La variable ;; disparaîtra d'elle-même, et l'on obtiendra en x^ y l'intégrale générale de l'équation (3) avec deux constantes arbitraires A et k.