A L'INTÉGRATION D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

DU SECOND ORDRE

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, t. II; 1871.

1. Soient f(x^y) cl 'f (^, y) deux polynômes du second degré en a: et en y, ne différant que par les termes du premier degré et la valeur de la constante.

Considérons le systt'^me d'équations différentielles

dont le nombre est inférieur de deux unités au nombre des variables.

En désignant par F(^, j^, Zy u) une fonction du second degré, homogène et convenablement choisie, on peut poser

/"(^tj) = ^H^,yi ffy *) et

a, 6, a et ^ étant des quantités constantes.

Cela posé, X désignant une constante arbitraire, il est facile de voir que Téquation

est une intégrale du système d'équations (i).

Il suffît, pour cela, de vérifier que la différentielle de l'expression précédente s'annule en vertu des seules relations (1).

.)7'| i;ALCUL INTKOnAL.

Or on a

~ ''''[' dF^ ^ ^' dTdJ^ ^ ' Tûrdx -^ P dbd^J

j /t d*/ dV d^f a d*f\

-<""[' dTdy^'^dy^-^'d^y^^dFdj)-

Remarquons maintenant que, les polj'nômes /(x, j') et o(Ç, t,) étant respectivement égaux à F(j;, r, «, b) et à F(ç, r,, a, 3) qui sont du second degré par rapport aux variables, on a les relations suivantes :

dx* ~ d\^ ' djTdâ ~ d\dÏL ' ' " '

d'où , en vertu d'un théorème connu sur les fonctions homogènes ,

dx'^ dxdy dxda ^ dxdb d\

dxdy dy^ ' dyda ^ dydb dr^

La valeur de d^K devient, par suite,

et elle s'annule évidemment en vertu des relations (i).