DE L'ÉQUATION D'EULER

Bulletin de la Société mathématique; 1875.

1. Soîl un polynôme du quatrième degré en x que je représenterai par la forme homogène U(^,^), où y désigne une constante égale à Tunité et introduite pour Thomogénéité des formules,

Téquation d'Euler

dx ^

a, comme je liai montré précédemment (*), pour intégrale générale Téquation suivante

(I) 6aU,-+-36H,-h(3S — a>)to« = o,

où a représente une constante arbitraire, eu le déterminant xi\ — y\^ Ua, Ha les émanants principaux de U et du hessien H de la forme donnée, et S son invariant quadratique.

Cela posé, on a Fidentité suivante, que Ton vérifîera facilement,

(^) U(ar,j^)U(î,r,)-Ui=4H,co«-h|a)V;

je récrirai plus simplement sous la forme suivante

UU'— U| =/»Hiioî-f-|a)S

d'où

StoV-+- 1211,0)»= 3UU'-3UÎ.

( • ) Sur l'application de la théorie des formes binaires à la géométrie des courbes tracées sur une sur/ace du second ordre. {Bulletin de la Soc. math., t. I, p. 35.)

Miilliplions maintenant par w^ le premier membre de l'équation (i), et remplaçons Sw^-j- iîîH2w2 par sa valeur tirée de la relation précédente, il viendra

GaUjtuî— a»u>VH-9UU'--9UÎ = o, ou

9UU' = (3U, — aa)«)«;

ou encore

(^) u,— /îjTr= ^to».

2. Cette nouvelle forme de l'équation d'Euler peut elle-même se transformer d'une façon remarquable.

Décomposons U d'une façon quelconque en un produit de deux facteurs du second degré, en posant

où et

On aura évidemment

UU' = /(:r,7)(p(T,7)/(5,iQ)cp($,T)),

d'autre part, en désignant par A l'invariant quadratique simultané des deux formes /et '^, AC'-h CA' — 2 BB', on vérifiera facilement l'identité suivante

Portons ces valeurs de U2 et de UU' dans l'équation (3), elle deviendra, en faisant, pour abréger, /(£, 'f\) =/' et «($, r,) = '^',

/cp'-h/'o - 2 v/7?7 Y = *"' (~3^)' d'où

3 désii^fnanl une conslanle arbitraire.

FORMES qu'on PEUT DONNER A L'INTÉGRALE DK L'ÉOUATION EULER. S-^j

D'où la proposition suivante, où j'ai fait disparaître les quantités auxiliaires^ et t) :

Si l'on décompose d'une façon quelconque le polynôme du quatrième degré, F(j^), en deux facteurs du second degré f{x) et ç(^), l'intégrale générale de l'équation

est

J'avais déjà déduit celte proposition de considérations purement géométriques, dans une Note Sur les propriétés des coniques qui se rattachent à l'équation d'Euler, insérée dans les Nouv, Ann, de Math., 1872.

SUR LA iMÉTHODE DE MONGE