rrr-ra
n{n — i)(/i — %) to'ar^
et que Téquation
a toutes ses racines réelles, quelle que soit la constante réelle a; c'est, en eflet, Téquation qui détermine tang - quand on se donne
tanga.
En particulier, si l'on fait B(x) = :r et to = i, on a
V (x) = IH 1 ^
poijnôme qui se présente dans plusieurs questions importantes d'Analyse (^).
En faisant, en second lieu, 6(x)= i, on a
h „(x) = î -{- ntax -h — ^(o*x*H ^^ ^^ ^ toSar^-t-. . .-H to«'ar«;
les polynômes ainsi définis satisfont à l'équation suivante
!2'i. Un cas particulièrement intéressant est celui où, dans l'équation / e~^ S(z)dz = o, on suppose que ^(z) soit un poly-
(•) Voir à ce sujet un Mémoire de M. Tchcbyclief {Mélanges mathématiques et astronomiques, t. II, p. 182. Saint-Pétersbourg, iSSg), ma Note Sur Vinté-
/*■* e~'dx
grale j {Bulletin de la Société mathématique, t. VII, p. 72) et une
Note de JM. Halphen, Sur une série pour développer les fonctions d'une variable ( Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 9 octobre 1882).
3H ALULBRE.
nonio eiiller donl la l'orme chanj^e siiccessivenienl lorsque la variable z croît depuis 6r jiisqu*à ù.
(^eUe équation peut se mettre alors sous la forme suivante
les a/ désignant des constantes el les //des polynômes entiers.
Pour examiner le cas le plus simple, soient a^, Xi, .... 0L,t des quantités réelles quelconques rangées par ordre croissant de grandeur el f?o, Ot a„ des quantités réelles quelconques; posons,
pour ahréger.
yij — ffp — fï, — a*.
p„ = a^-i- (Il — €i j — . . . — a,i . et considérons Téquiition / '* -■* 7»^» </* -r- i ('-'-^pitiz-T- j e-'-^p^tiz-*- .,.~t- j e-^^pndz =^a.
En eflectuanl les intégrations. Il est aisé de voir qu'elfe devient simplement
«io«* ak^j"— <i,c' -^i-» — <ïj«*-*.-«^ -r- . . . — a„r-at--«' = o:
el le nombrt* /> de ses racines positives est le même que celui des racines de I équation
qui sont comprises entre o el -i- i. iVlle équation résulte en effet de la pnMuiérc quand on \ |H>se «•~-^=: r.
On sait d'ailleurs ^n** 10^ que le nombre p est au plus égal au nombre des alternaneo de la suite
/ /'o «/- / / i ^^- - / /'i dz —,,,— j p„ liz.
d\>ù Icn propo>itlon> ^uix.uUo .
Les nombres ao, a^ aa, . . ., a„ étant rangés par ordre croissant de grandeur, le nombre des racines de V équation
qui sont comprises entre o et -\- i est au plus égal au nombre
des alternances de la suite
oàpoj Pi, P29 ' " y Pu ont la signification donnée ci-dessus. El encore (ce qui est le même théorème sous une autre forme) :
Si les nombres ao, ai , a2, . . . , ol„ sont rangés par ordre décroissant de grandeur, le nombre des racines de Inéquation (i) qui sont plus grandes que l'unité est au plus égal au nombre des alternances de la suite (2).
25. J'ai fait voir plus haut (n° 14) que le nombre des racines positives de l'équation
(i) \oF(aLQx)-h A|F(aia?)H- A,F(a,a:)-i-. . .-h A„F(a«2r) = o
était au plus égal au nombre des racines de Téquation
qui sont supérieures à l'unité; d'ailleurs les nombres logao, logai, . . . , loga;2 vont en décroissant. Posons maintenant
po = Ao.
/?! = Ao-i- Al.
Pi= AoH- Ai-+- Aj.
/?„ = Ao -H Al -h A j H- . . . H- An ; il résulte, de ce qui précède, que le nombre des racines posi-
(*) D'après la définition des alternances d'une suite, il est clair que le nombre des alternances de la suite a H- ô -f- c + rf.x est le nombre des variations des termes de la suite
4o ALOKDR£.
lives de l'équation (^i) est au plus égal au iiombie des alternances de la suite
