INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENGKS PARTIELLES
En développant ce déterminant, on voit qu'il est de la forme indiquée, et, en identifîant les coeiricicnts des quantités r, 5, /, . . . , on aura, pour déterminer les inconnues a, 6, c, rf, a, p, y, 3, les cinq équations
(0 M = d'^ — co,
(2) i\ = ap — ^a,
(3) L = 6Y-cp, (î) U = doL — a^,
(î) o.K = d^ — bo -^ a^ — C2.
On a maintenant, d'après un lliéorùme connu (*),
-h («3 — ^a)(co — d^() = o, ou encore, en vertu des relations précédentes,
{coL-ay)(b^-d'^)= HL-hMN,
par suite, si l'on fait, pour abréger, G = K^ — IIL — MN,
(5)' K4-/G = rf?-68
(5) K — ^^ = a^ — COL.
2. Des équations (i), (2), (3), (4), (5), (5') et (5'^ il est facile de déduire un sjstcme de valeurs des indéterminées a, bj
Remarquons d'abord que , parmi les déterminants mineurs a^ — boL^ay — ca, ... qui entrent dans ces équations, il s'en trouve au moins un qui n'est pas nul, autrement la forme W s'annulerait identiquement. Supposons, par exemple, quea^ — boL soit différent de zéro; je mettrai les équations précédentes sous la forme
(») C'est le théorènitr do rontaine; voir Théorie des déterminants, par Rallzcr, p. .î.^>.
CALCUL INTKOnAL.
et
La première de ces équations, étant une conséquence des autres, peut être négligée; donnons maintenant à a, 6, a et ^ quatre valeurs arbitraires satisfaisant à la relation a^ — a6 = N, la dernière relation donnera
qui déterminera les autres indéterminées rf, c, 3 et y.
3. On voit, par ce qui précède, que Ton peut toujours représenter W par un déterminant de la forme indiquée, et si G n'est
pas nul, comme on peut prendre pour y/G deux valeurs, il en résulte que toutes ces représentations se distribueront en deux groupes, le premier groupe comprenant les représentations appar>
tenant à la valeur -4- y/G du radical et que je désignerai sous le nom de représentations de première espèce^ le second groupe
comprenant les représentations appartenant à la valeur de — V^G; je les appellerai représentations de seconde espèce.
Si G était égal à zéro, il est clair qu'il n'j aurait qu'une seule espèce de représentation de W.
Pour abréger, si l'on a
di
rai
que
est une représenta lion de la foi^ine W.
( » ) J'indique ici, d'une façon abré^'éc, que le syslèine linéaire du second membre s'oblicnl en composant les deux syslènjes linéaires du [)reniier membre dans l'ordre dans lequel ils sont placés. Celte seule relation tient donc lieu des relations (3), (4)> (^)' et (5)"; on en conclut en particulier que le déterminant du système linéaire du second membre est égal au produit des déterminants des systèmes du premier membre; en d'autres termes, que rfy — c5 = M. Cette relation, qui est v\wc conséciuencc des autres, peut donc être mise de côté.
Voir, à ce sujet, mon Mémoire Sur le calcid des systèmes Unèaira {Journal de l'Ecole Polyteekniquc, XLH' Caliier ).
INTÉGRATION DES ÉQUATIONS LISÉAinKS AUX DIFPÉIIENCES TARTIELLES. 383
-1. Théorème I. — Soient deux représentations de la forme
a' b' c' cT
W et
rents; on a les quatre relations
î qui soient de systèmes diffé-
( ac'-^bd'—ca' — db'=o, a^'-t-^o' — coi' — rfp'=o,
Si G = o, les mêmes relations ont lieu relativement à deux
représentations quelconques de \V.
Démonstration. — Supposons G di fièrent de zéro et soient
a ? Y ^ ^ «' P' ï' ^' soient respectivement de première et de seconde espèce; d*aprùs
ce que j'ai démontré ci-dessus (2), on aura
deux représentations de W,
qui
II K - /g K -H /"G '-
et
ou encore
et par suite
:' ?' Il K - /G
Supposons, pour un instant, que
iNI = (i'( — cù = d'^i — c'o'
soit diflerent de zéro; multiplions les deux membres de l'égalité, à gauche par le système , ,, el à droite par le système i ,» il viendra, après avoir divisé par M,
f >» I Cil
relation qui, développée, donne précisément les quatre relations qu'il s'agissait de démontrer.
La démonstration précédente suppose M diflTérent de zéro ; mais.
par un raisonnement connu, on montrera facilement que la proposition subsiste même quand M est nul.
11 est clair que, si G = o, la proposition est vraie relativement à deux représentations quelconques de W.
Intégration de l'équation aux différences partielles
de second ordre (7) \V = o.
5. Supposons maintenant que r, 5, t soient les dérivées partielles du second ordre d^une fonction inconnue z par rapport aux variables x et y^ les coefficients de W étant d'ailleurs des fonctions quelconques de x, y^ z, et des dérivées du premier ordre p et r/, et soit à intégrer l'équation (7) W= o.
Pour rester d'abord dans le cas le plus général, en supposant G diflcrenl de zéro, imaginons» que nous ayons trouvé deux représentations de W par le déterminant
et de systèmes diflercnls; soient
rt W =
ces deux représentations.
Cela posé, on aura les propositions suivantes :
TnÉORfeME II. — Si u-=zf(^v^ est une intégrale première de V équation (7) renfermant une fonction arbitraire f^ chacune des fonctions u et v est une solution du système d^ équations simultanées du premier ordre
(dio
diù , dta
dp clq
dio ^ diu
