V . • dp

>, dui

On a pos(^, pour abréger,

dio du)

dl-^f dz

dio

dy '^ dz

Démonstration, — Prenons succcssivcmenl les dérivées, par rapport h x et par rapport à r, de Téqualion u= /({'), il viendra

[dj,)

du du ., V / dv'^

dp dq

dq\

(du \ du du ., , r / di' \ dv dv 1

d}) -*-'^-^'./y =-^^>'^ [idT) ^-"dp ^' 717,1

et, puisque u=/[i') est une intégrale |)remicre de Téqualion \V = o, cette dernière doit provenir de rélimination dcy^(<') entre les deux équations précédentes. On aura donc, du moins à un facteur constant près,

/d u\ \dx)

du\

du dp

'dp

du dq

dv dv

dp dq

d'où, par une transformation facile.

/ du *. / (fu \

CALCUL INTEORAL.

\dx)

et par siiilp

est une représentation de W. En vertu du théorème I, on voit donc que chacune des fonctions u eli^ satisfera au système d'équations (8) ou au système (7), suivant que cette représentation sera de deuxième ou de première espèce.

Théorème III. — Béciproquement, si u et v sont des solulions du système d'équations (8) ou du système (9), w=y(t'), où f désigne une fonction arbitraire^ est une intégrale première de V équation (7).

Démonstration, — Soit, par exemple, w une solution quelconque des équations (8)

/ diù\ , / dii)\ dui

,dy

dui\ r, / du}\

,17 -"Ms^

\ dx I

\dy!

dia dp

, dtii dq

^ dit) dq

on a en outre les deux relations suivantes, qui ont évidemment lieu pour une fonction quelconque de a: et dey,

/dû) jdM\

duy dp

dto dp

doi

dio dq

Entre les équations précédentes, éliminons \-r-)i (zr')* ;/~ ^*

-7-» Il vient

i ors

ou encore W = o, d'où il résulte que to = o est une intégrale de Tcqualion (7). Si u cl r sont deux valeurs particulières de 10, les