INTÈGIIATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES

équations (8) étant linéaires, u — f{^*) satisfait également à ces équations, quelle que soit la fonction f\ la proposition est donc démontrée.

Théorème IV. — En désignant par u et v deux solutions communes au système d'équations (8), et par w' et v' deux solutions communes au système (ç)), si des équations u — f(v)= o et u' — rs(ç') = o on tire les valeurs de p et q en/onction de jr, y et 5, ces valeurs substituées dans pdx -f- qdy rendent cette expression une différentielle exacte, en sorte que, pour achei^er V intégration, il suffit d* intégrer l'intégration

dz = pdx -H q dy.

Démonstration. — D'après ce que j'ai dit plus haut,

du du ( du\ / (>

(In dq \ dx ) \ f>

du dp

dv'

dv^ dq

du^ dq

dv'

du\

dp dq

' dx)

.'tyj

/dt£ \dy

/di>'

'dv'\

sont deux représentations de W appartenant à des systèmes difTérenls.

En vertu du théorème I, on a donc la relation

du ( du'\ du (du' dp \ dxj

d u^ ldu'\ d7j\dy)

du / du \ du' ( du\

dj;\7rr)~d^\7f^)-''^

qui est la condition d'intép'ahilité. Comme d'ailleurs on peut remplacer dans cette relation // par une solution (|uelconque du système (8), et u' par une solution (juelconque du système (9), la proposition est démontrée.

0. Le cas où (s = o donnf' lieu aux mêmes propositions, sauf qu'il suffit de considérer une seule représentation de W.

SUR LA