TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

t. L\\\Il; 1876.

1. Jacobi a donné (6V^//^, I. i) un système d'équations difiercnlielles du second ordre auquel satisfont le numérateur et le dénominateur de la fraclion qui se présente dans la transformation des fonctions elliptiques; Eisenstein a depuis étudié cette question dans un beau Mémoire {Crelle, t. 30 et 32, et Œuvres mathématiques, p. iSp).

On peut présenter de la façon suivante la proposition de Jacobi :

En désignant par y une quantité égale à Tunité et introduite

pour rhomogénéité des formules, soient w(j:,y) et /(x, v) deux

polynômes du quatrième degré bomogènes en x et y, et ^ = ^, une intégrale rationnelle de Téquation

d:i dx

v/m(5,i) s'jK-r.y)

X et Y étant deux polynômes bomogènes en x ç\.y et du degré m. Posons, pour abréger,

n.r ^ dv

Y,, ^2 ety, étant définis d'une façon analogue.

Cela |)0sé, on a Tidenlité suivante, qui a lieu quelles que soient les quantités a, 3, \ et r, :

-l/i(;Vr.\)(iY.-'-,X,),

SUR LA THAXSPORMATIOX DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 38ij

identilé où, /désignant une constante, <ï>a j)Our valeur rcxj)ression

2. On peut poser de la façon suivante le problème de la transformation :

Trouver une intégrale rationnelle ^= y de Téquation

dz dx

X Cl [JL désignant des constantes convenablement déterminées et k le hessien de w; c'est sous cetle forme que M. Ilermite a depuis longtemps résolu ce problème dans le cas de m = 3.

On voit facilement (|ue, si le degré m de la transformation est de la forme 4^ -f- i , X et Y sont déterminés par les formules suivantes :

dv dx ^

OÙ, J désignant le covariant du sixième degré de (/, B et l\ sont des fonctions homogènes de u et de h et respectivement du degré (/î — i) et du degré n,

Semblablement, si m est de la forme ^n — i, X et Y sont déterminés par les formules