MULTIPLICATION DES FONCTIONS ELUPTIQUES

Bulletin de la Société mathématique de France j t. VI; 1877.

1 . Je rappellerai d'abord une formule importante due à M. lier mite («).

Étant donnée une forme homogène, à deux variables et du de gré m, U(^, J^), si Ton pose, suivant l'usage habituel,

m dx m dy

on a identiquement

A, B, . . . désignant des covariants de la forme U. Je transformerai cette formule en posant

d'où

ou, en posant, pour abréger, $U| -f- "^l Uo = A, x-Tj — ,vç = w,

Cl) co

En remplaçant respectivement, dans l'équatiou (1), kx — U,, \x — Uo, A et / par leurs valeurs, il viendra

(•) Deuxième uMc moire sur la théorie des fonctions homogènes à deux indéterminées {Journal de Crelle, t. 5*2, p. 25.

Si Ton suppose nue U soit unr forme du quatrième degré, en désignuni par H son hes:iien, par J son covarîanl cubiquedu sixième degré, et par S son invariant quadratique, il viendra

(î) 0»<3-,^)U(5.';)= A'-^CIiA'..)'-*- lJi">»-t-<SU'-îH')iu'.

2. En extrayant la racine carrée du premier membre, od obtient la relation suivante :

L>t:(S.T,) = (A»--îllo>'i>-^w'[4Ji-^(Sl.>— nH')«.],

et l'on voit, en vertu du théorème fondamental d'Abel, que l'înlégrale algébrique entière de l'équation différentielle

où les quantités /, et y doivent, ainsi que dans ce qui suit, être remplacées par l'unilé, est fournie par l'équation

i Ji$Ui-(-T,t,i-r-(SU»-iall')(T», -/t) = o.

3. On obtient avec une égale facilité la formule qui donne la multiplication des fonctions elliptiques par 5, en d'autres termes, l'intégrale alj;ébrique entière de l'équation

Désignant, en ellet, par a un covariant inconnu de U, il suflira de déterminer ce covariant, de telle sorte que le reste de l'opération, dans l'extraction de la racine carrée de

soit divisible par m^. On aui-a, en effet, identiquement

U»Ci + n»")'IJtE.T,)=rt-(-i^jT, - >=)»[ Q( tu, -,-r,l,)-t-Rfj7r, — v;)];

d'où il suit, «'U venu du théorènie d'Abel, que l'intégrale cliercbt'-e L flStroumic par ]» résolution de l'équation

SUR LA MULTIPLICATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. SgS

Pour effectuer le calcul, remplaçons pour un inslanl A par :; cl w par i; on trouvera aisément

(^-+-eij«(c^-+-6H5*-f-4J-H-SU«— 3Hï)

-+-[aa(SU'-i2H2)-+-4(a2— 3H)J]^ -*-a2(SU»-i2Hï)— 4J»- i2rtJH;

en égalant à zéro le coefficient de 5', on a