SU

" = Ji—'

et le reste de Topéralion de Textraction de la racine carrée devient

[(SU2— i2H«)«-4-481IJ«] 4"J ^

|(SU»— i>.HM^— 48HJ»(SU«-i2H«)-()4JM

L'intégrale algébrique de Téquation (5) est donc donnée par l'équation

4J[(SU«— i2H»)2-t-48HJî]($U,-+-r^U2)

— [(SU*— i2Hî)5— 48HJ«(SU«— 12 11^)— 64J^](arr, - y^)=o,

4. On trouverait de même la formule qui donne la multiplication des fonctions elliptiques par un nombre impair quelconque w, ou, en d'autres termes, Tinlcgrale algébrique entière de Tcquation

cf^ n dx

lue problème revient, comme on le voit par ce qui précède, à déterminer deux polynômes entiers ^{z) et f{z) qui soient respective-

ment du degré et du degré — ; — > et tels que Ton ait

(6) ¥^{z)\\{z)=p{z)-^aLZ + ^,

où j'ai posé, pour abréger,

W(;;)=:x;*4-6II^«-l-4J^4-Slî2— 3112, et où a et ^ désignent des covariants de U indépendants de z.

3()| CALCUL INTKORAL.

La première méthode qui se présente pour résoudre ce problème est celle que j'ai employée dans les exemples précédents; en mel-

tant en évidence les coefficients actuellement indéterminés

de F(3), et extrayant la racine de F^(;;) W (-g), on profitera de Tindétermination de ces coefficients pour annuler les coefficients des

— ; — premiers termes du reste, qui sera nécessairement de la forme

a et p étant des fonctions connues des covariants de U.

L'intégrale cherchée de l'équation (5) sera alors donnée par la

relation

a($U,^-r,U,)-^-?(^T3-.rî)=o.

Mais on peut rattacher la détermination des polynômes F(:;) et y*(5), et par conséquent du reste a^ 4- p, à la réduction de l'expression y/\V(:?) en fonction continue.

De l'équation (6) on déduit, en eflet,

F(;;)vAv77)=/(5)H *1^-

le dénominateur de la fraction , ^ ^ est du deerré

- — , d'où il suit que le développement de F(5)y\V(3) — /(^) commence par un terme de l'ordre de ^^^

La fraction i.~- est donc une des réduites obtenues en dévelop-

pant v/W( v) en fraction continue, celle dont le dénominateur est du degré ( )■

SUR LA