Soit Inéquation
OÙ les nombres ao, ai, ..., a;, sont rangés par ordre décroissant de grandeur et eu un nombre positif arbitraire.
Choisissons un nombre positif k assez grand pour que toutes les quantités A* -f- ao, A* -f- a, , . . . , A" 4- «« soient positives et formons la transformée en r=:a:-h A%
OU, pour al>régcr l'écriture.
Cette équation peut s'écrire
Soit
Téquation précédente peut se mettre sous la forme
Vf)-'^ ■■■<j)--
sua LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. /| i
OÙ le premier membre est convergent pour loutes les valeurs de y plus grandes que a^.
Si l'on observe maintenant que tous les coefficients M/ sont positifs, on établira, comme ci-dessus (n" 13), que le nombre des racines de Téquation (2) qui sont supérieures à a'„ est au plus égal au nombre des racines de l'équalion
qui sont supérieures à Tunité; ce nombre est donc au plus égal au nombre des alternances de la suite
Oq-^ fii-h. . .-h a,i.
D'ailleurs le nombre des racines de l'équation (2) qui sont supérieures à a„, c'est-à-dire à aoH-A', est précisément égal au nombre des racines de l'équation (i) qui sont supérieures à ao. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :
Les quantités ao, ai , . . . , a,, étant rangées par ordre décroissant de grandeur, le nombre des racines de l'équation
fto ai an
qui sont supérieures à a© est au plus égal au nombre des alternances de la suite
flo "^~ ^1 -H • • • "+" ^n-
Le nombre des alternances est pair ou impair, suivant que les deux quantités a© et ( a© 4- «i -I- ... -h a,,) sont de même signe ou de signes contraires; il en est de même du nombre des racines de l'équation supérieures à a©, comme on le voit en substituant successivement dans le premier membre de l'équation 4-00 etlaquan- . lilé ao4-e, où e désigne une quantité infiniment petite. Ceci ne s'applique pas au cas où l'on aurait ao -h fli + •• . -h a„= o; ce cas écarté, on peut dire que :
Si le nombre des racines de l'équation supérieures à clq et le nombre des alternances de la suite formée par les coefficients diffèrent, leur différence est un nombre pair.
28. Laissant de côté, pour Tinstanl, le cas général, je m'occuperai en particulier de Téquation
X — ato X — 8} X — 0L% X — Otn
Dans l*intervalle compris entre a/ et a/^.!, intercalons deux nombres \ et Ç', de telle sorte que les nombres
soient rangés par ordre croissant ou décroissant de grandeur, et Taisons la substitution
d*où Ton déduit
sr — — , ^
Aux quantiu's de la suite (A) correspondent les quantités suivantes :
qui seront rangées par succession de grandeur (*).
V*> Il o>l iH^n «le prfci$rr ce que jVntends par là. Des quantités sont dites raii$xr<^ (var sut>.*e5$ion cn>îs!Miiile ou décroissante de grandeur si une quantité >ariahle« qui >arie toujours dans le même sens, prend successivement les valeurs des tenues de la suite de ces quantités, en passant par TinOni si cela est nécessaire
Ainsi les quantités
Mmt ranfsi'cs |vir succt^ion crv^issante de grandeur, et les quantités
par Stt\\^nsMon decrxMssante de grandeur.
Vu lieu «ic ranger les quantités sur une ligne drv^te. on peut les ranger ainsi :
tr *« ,"»vvv ^^'TtN'lo j>*t\v*r« sia»> «a Mf»s tieiermine
On voit aisément que toutes les quantités aif^ sont positives : a] est donc la plus grande d'entre elles; l'équation (i) devient, en eRectuant la substitution indiquée ci-dessus,
ou encore
Or, a] étant le plus grand des nombres a]^ qui sont tous positifs, en appliquant la proposition démontrée précédemment, on voit que le nombre des racines de l'équation
^k Ç — ax: X — «x:
qui sont supérieures à a]^, c'est-à-dire le nombre des racines de l'équation (i) qui sont comprises dans l'intervalle (Ç, ai) (*), est au plus égal au nombre des alternances de la suile
29. Comme application, considérons l'équation (i) — ^ 1 1 ::— =o.
Les quantités
étant rangées par succession de grandeur, nous aurons à considérer les cinq intervalles
dont le dernier renferme l'infini.
(*) Des quantités a, p, . . ., Jl, [x, . .., t^ (o étant rangées par succession de grandeur, j'appelle intervalle (^, fi) celui des intervalles déterminés par ces deux nombres qui ne renferme aucun des autres nombres. Cet intervalle peut renfermer rinfini si X et |x sont de signe contraire; ainsi, étant donnée la suite
rintcrvalic (4- 4» —3) renferme l'infini.
44 ALOLBllE.
En désignant par Ç une quantité réelle quelconque, nous déduisons, de ce qui précède, les conséquences suivantes :
1° Ç étant dans l'intervalle ( — 2, — i), le nombre des racines de Téquation (i) qui sont comprises entre Ç et — 2 est au plus égal au nombre des alternances de la suite
?-+-a ? — 2 î — i $ î-hi
et le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et — i , au plus égal au nombre des alternances de la suite
•jL 1 14 14
En particulier, faisons, dans la première suite, Ç = — i — e, e désignant une quantité infiniment petite positive; la suite devient
14 rr -^ 2-Hoc;
comme elle ne présente pas d'alternance, on en conclut que Téqualion (i) n'a pas de racine dans l'intervalle ( — 2, — i).
2** Ç étant dans rinter>'alle ( — 1, o), le nombre des racines de l'équation qui sont comprises entre Ç et — 1 est au plus égal au nombre des alternances de la suite
et le nombre des racines qui sont comprises entre i et o au plus rgal au nombre des alternances de la suite
2 I 14 li I
Faisons, en particulier, dans la première suite, x = — e; la suite devient
comme elle présente deux alternances, on voit que Tiotervalle \^ — I, o^ ixmiprond deux racines ou n'en comprend pas.
V" î étant dans rintorvallo ^o. -r i ». le nombre des racines de
l'équation qui sont comprises entre u et i est au plus égal au nombre des alternances de la suile
et celui des racines qui sont comprises entre Ç et 4- i, au plus égal au nombre des alternances de la suite
Ç — I 5 — 2 Ç-l-2 Ç-hl I
Faisons, par exemple, Ç = i — e, la première suite devient
elle présente deux alternances : donc l'équalion a dans l'intervalle (o, -H i) un nombre de racines égal à o ou à 3.
On arrive à la même conclusion en substituant dans la seconde suite -+-e; elle devient, en effet,
-+-I — 7-h7 — I -hx,
et cette suite présente également deux alternances.
4° 5 étant dans l'intervalle (+ 1 , 4- 2), le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et + i est au plus égal au nombre des alternances de la suite
et le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et -|-a, au plus égal au nombre des alternances de la suite
1 — 2 Ç-+-2 Ç-hl 5 5 — 1
Faisons, par exemple, dans la deuxième suite $=i-f- s, elle devient
— i4-h -^ ha — x;
comme elle ne représente aucune alternance, l'équation n'a aucune racine dans l'intervalle considéré.
4() ALOKBRE.
5" Considérons enfin l'inlervalle (-H 2, — 2) qui contient Finfini; l ('tant dans cet intervalle, le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et -H 'a est au plus égal au nombre des alternances de la suite
et le nombre des racines qui sont comprises entre Ç et — a, au plus égal au nombre des alternances de la suite
Faisons, par exemple, dans la deuxième suite, ^ = a 4- £, elle
devient
et, comme elle ne présente aucune alternance, Féquation proposée n'a aucune racine dans finlervalle (-1- a, — a).
