ÉTANT UN POLYNOME DU SECOND DEGRÉ

HuUetin de la Société mathématique, t. VI; 1877.

\. Étant donnée l'équation du second ordre

où y* désigne un polynôme du second degré en x, on sait que celle équation admet comme solutions une infinité de polynômes entiers du troisième degré, à savoir tous les polynômes du troisième degré dont le hessien est égal k/{x). Je me propose dans la Note suivante de trouver son intégrale générale.

A cet effet, je remarque qu'en posant ^-^ =^> l'équalion (1)

peut être remplacée par le système d'équations simullances du premier ordre

, , dx dy dy'

(2) — \ = — -r~ = — Tï — 5 1^ '

y ^ y ^y ^fy ' -h 3/V * dont le dernier multiplicateur est égal à l'unité, puisque Ton a

4(,-l).|(,,Hy)^s}.(c/.-i*^V-*)-..

Des principes établis par Jacobi, il résulte qu'il suffil, pour intégrer complètement l'équation (1), d'en trouver une intégrale du premier ordre renfermant une constante arbitraire.

SUR L

d' y 1 / dy\*

'INTÉQR.VTION DE L'ÈQUATIOX y -7^ ~ ^\Zj ) = ^fi^)- 4»'^

Pour l'obtenir, je prends successivement les trois premières dérivées de l'équation

( 3 ) y-y - 3 y = fi/,

a savoir

La dernière équation s'intègre immédiatement et donne, en désignant par a une constante arbitraire,

(6) r**= ifiar"'.

Éliminant j^'*, y et y entre les équations (.'^), (4), (5) et (6), on obtient l'intégrale du premier ordre

d'où l'on déduit, en posant

/= Ax*-f-B:r4-C cl A = B«-4AG=/'«-2//'',

d'où

S. Je remarque maintenant que, d'après la théorie due à Jacobi, le facteur qui rend une différentielle exacte le premier membre de l'équation

( 9 ) ^ ' >'' dx — y ^ dy = o

est jT » OU? î* wï fadeur numérique près,

'Vy-3/> / -^ v

En multipliant Téquation (9) par ce facteur intégrant et en remplaçant^' par sa valeur tirée de Téquation (8), il viendra

3 dx Zf'ydr — '^fdy __

Posons y = 5 ^ , d'où dy =1 — ~ :; ^dz\ en substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, après avoir supprimé le facteur -?

dx f'zdx-^fdz

S '^ fz s/t^-^^ifz-f^z^

ou encore, en posant fz = u et, par suite, y = f ~) ,

dx du

(10) -yT -+- — — r - - = o.

L'équation (i) s'intègre donc complètement au moyen des fonctions elliptiques et celte intégrale est, en désignant par a et ,3 deux constantes arbitraires,

dx /• du Q

J f J uJl

OÙ w doit être remplacé par sa valeur /j' '* .

3. Comme je l'ai fait observer au début de cette Note, l'équation (1) admet comme solutions une infinité de pol^'nômes entiers ' en considérant l'intégrale intermédiaire (9), on voit immédiatement que, pour ces solutions, a doit être nul, et il est facile de voir 011 elVel, que, dans ce cas, réqiialion (10) s'intègre algébriquement.

SUR L'iNTKOIlATfON DE l'kQUATION y —f—^ — "i ( "/" ) =^/(^)- 4"^

Pour Tune quelconque de ces solutions, on a ainsi

ou encore, en multipliant le premier membre par 4/^^ ^^ décomposant ses premiers termes en la somme de deux carrés,

Pour employer les notations habituelles, si nous posons /*= H, ^ = U et 2/y — 3/'y = 3 J, il viendra

jî AU«4-4H»=o.

C'est la relation bien connue qui existe entre les covariants d'une forme cubique.