UN ELLIPSOÏDE HOMOGÈNE
Sl'R UN P01>T EXTÉRIEUR.
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences»
t. LXXXVI; 1878.
Considérons rellipsoïde — -I-tjH — î = i et un point M exlé-
riciir à cet ellipsoïde et ayant pour masse Tunité. En désignant par x^y^ z ses coordonnées, par p la densité uniforme de la matière qui forme Tellipsoïde et par k une quantité constante, la valeur du potentiel du point M, relativement à Fellipsoïde, est donnée par la formule
Pinlégrale triple s'étendant à tous les points situés dans ^intérieur de Tellipsoïde. D'après une formule due à Jacobi, le facteur
est eiçal a — / ;i; v-^ — * 7-r^ ; —
" 'i'T.J^ \ — ^-4- t (Y — j^) cosp -h i(Z — ^)sin^
On a donc
dXdXd'Lil^
coscp -+- /(Z-^5)sin©*
le point M étant à l'extérieur de l'ellipsoïde, la quantité sous le signe / ne devient jamais infinie. On peut donc intervertir Tordre dos intégrations et écrire
.SUR l'attraction qu'exerce un ellipsoïde sur un rOINT EXTÉRIEUR. 4'^7
Faisons un changement de variable en posant
on aura
abc- '1T.I ''v./jl^
ff^dridi;
-v-Mr, -+-IN!;- l'
équation où j'ai posé, pour abréger, L = a, M = «Acos<p, N = «csincp, et P = x -h ijrcos^ -^ izsln^.
L'intégrale triple s*étend à tous les points situés dans l'intérieur de la sphère ^^ -+- r/-* -4- JJ^* = i . Elle peut se mettre sous la forme
y/U^Mi^^iJJJ
d^dridri
A désignant la distance du point (Ç, 7;, ^) au plan II, dont Téqua-
lion est
LX4-MY-+-NZ— P=o.
Il est facile de Tévaluer. Menons, en cnfet, deux plans infiniment voisins parallèles au plan II; soient respectivement t et l -hdl les distances de ces plans au centre O de l'ellipsoïde; soit enfin D la distance du point O au plan H. Les deux plans infiniment voisins découpent dans la sphère une couche dont le volume est 7w(i — l^)dt\ tous les points de celte couche sont d'ailleurs à une distance du plan II égale à D — l; la partie de l'intégrale triple relative à celte couche est donc égale à
TT (\—t^)dt
et la valeur de l'intégrale triple elle-même est
Si l'on remarque maintenant que P^Dy/L* + M -|- JN^, en remplaçant L, M, N et l* par leurs valeurs, il viendra dérmilivemcnt
o8 CALCUL INTÉOUAL.
[-.'intégration relative à t s'effectue immédiatement; je conserverai néanmoins la formule précédente sous cette forme.
On peut remarquer que le premier membre est, à un facteur constant près, le rapport du potentiel à la masse de Tellipsoïde; il est clair d'ailleurs que le second membre ne change pas quand on remplace l'ellipsoïde considéré par un ellipsoïde homofocal. De là résulte immédiatement l'importante proposition de Maciaurin : Les potentiels d'un même point relativement à deiuc ellipsoïdes homofocaux sont proportionnels aux masses de ces ellipsoïdes.
Si la surface est de révolution et si l'on a 6 = c, l'intégration relative à » s'effectue immédiatement, en vertu de la formule de Jacobi rappelée plus haut, et l'on a
en effectuant ensuite l'intégration relative à I, on obtiendrait la formule bien connue qui donne explicitement la valeur de V.
En terminant, je ferai observer que la méthode employée cidessus pour déterminer l'intégrale triple
d\ dr, dX,
Lt4-M7i^NÇ— P
suppose essentiellement L, M, N et P réels. On pourrait donc avoir des doutes sur la légitimité de son emploi quand ces quantités sont imaginaires; mais une autre méthode très simple, quoique un peu moins brève que la précédente, conduit également à la valeur que j'ai donnée ci-dessus.
SCK LA
