ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI; 1878.
1. Soit à intégrer réquation du premier ordre dy — y dx = o, où y est déterminé par Inéquation
a désignant une constante arbitraire.
M étant le multiplicateur propre à rendre dy — y dx une différentielle exacte, on peut supposer que, dans son expression, on ait remplacé a par sa valeur tirée de l'équation (1) ; M sera donc une fonction de x^y^y\ telle que
^\{dy—ydx)
soit une différentielle exacte.
D'où Ton déduit l'équation de condition
dM
dM dv' dM , /„ .dMxdy' dy' dx dy' \ -^ dy I dy
dx
L'équation (1) donne d'ailleurs les relations
c/V d\ dy' d\ d\ dy'
dx dy dx dy dy dy
Tirons de ces relations les valeurs ^le -7- et --^, et porlons-les dans Téqualion précédente, il viendra
^V d\{ d\ dM , (d\ ^ dy d]^\ M ^' „
^- dx dy' dy' dx "^ '' [dy dy' " dy' dy)''~ ' dy " "'
JjlO CALCUL INTEOHAL.
Celle équalion doil élre idenliquement salisfaite quand on j remplace y par sa valeur lirée de (i), et, comme a est arbitraire, elle doil <^ Ire satisfaite quel que soitj^.
Le facteur d*intégrabilité M est donc déterminé par l'équation aux différences partielles (2), où x^y et y doivent être considérées comme trois variables indépendantes.
Il suffit de trouver une solution particulière quelconque de cette équation et de remplacer, dans cette solution, y par sa valeur tirée de l'équation (1).
Quant à la solution générale de l'équation (2), il est évident qu'elle se ramène à la solution de l'équation (i) elle-même.
2. Proposons-nous maintenant le problème suivant : Trouver toutes les fonctions V(x,^',j') telles que, j'' étant déterminée parla relation (i), V(:r,y, jk')= a, l'équation
djr — y dx = o
admette comme facteur d'intégrabilité une fonction donnée M de :r,yeiy.
Si, dans l'équation (2), on regarde V comme la fonction inconnue, on voit immédiatement que Tintégralion de cette équation dépend de Tintégration du svstème suivant d'équations aux différentielles ordinaires du premier ordre :
on a identiquement
d dM d f^, dM\ d (dM ,dM\
di 7^' -^ d^r-^-^" dy)- dy\d-.-^ ^ dy) = '''
Le dernier multiplicateur du s\slème d'équations (3) est donc l'unité.
Supposons que nous avons trouve une solution V( x, y, y'^ = % du problème proposé, d'après les principes donnés par Jacobi, ou obtiendra une seconde solution du système (3), en posant
SUR LA UKCIlKItCllK DU KACTKUIl D'lXTKUItABII.ITK DES ÉQUATIONS, ETC. 4»»
y étant remplacé sous le signe somme par sa valeur déduite de(i) et ^ désignant une constante: non seulement la quantité sous le signe somme sera une diflerentielle exacte, comme on le sait par les propositions ducs à Jacobi, mais encore l'intégration pourra toujours s'effectuer effectivement.
La solution la plus générale du problème est ainsi donnée par la relation suivante, où F désigne une fonction arbitraire,
(4) F(a,?) = const.,
où a doit être remplacé par sa valeur déduite de (i); et IVquation dy — y' dx = o, où la valeur de y^ est fournie par Téquation (4), admet comme facteur d'intégrabilité Texpression M(x, Vj j^), où y doit être remplacé par sa valeur déduite de (4).
3. Soit /(or, j*, a) une fonction quelconque de jr, y et d'une constante arbitraire a; en posant
l'équation rf)^ — y dx = o admet évidemment comme facteur d'intégrabilité l'expression
dy
quelles que soient les fonctions 0 et F.
Je suppose que, dans cette expression, on ait remplacé a par sa valeur tirée de l'écpiation (5), et je me propose de trouver toutes les équations qui admettent M comme facteur d'Intégrabilité.
Pour cela, on a à intégrer le système d'équation (3) dont une première intégrale est donnée par l'équation (5), où a désigne une constante arbitraire; d'après ce que j'ai dit plus haut, une seconde intégrale sera donnée par l'équation (3)', qui devient alors
ou encore
4l3 CALCUL INTÉGRAL.
On a d'ailleurs, en vertu de l'équation (4),
dy' __ dx d% dy dy dv. dx
~d% " JWy
\dy)
En substituant cette valeur de -^ dans Fexpression précédente et en intégrant, il vient
d'où cette conclusion :
Quelles que soient les fonctions <ï>, 8 et F, le facteur d'intégrabilité de l'équation
dy —y' dx=zo, où y est déterminé par la relation
relation dans laquelle ol doit être remplacé par sa valeur déduite de r équation (5), est
a étant, dans cette expression, remplacé par sa valeur tirée de l'équation (6).
