La proposition précédente peut encore s'énoncer ainsi
En désignant par 4>, W et B des fonctions arbitraires, on peut toujours ramener aux quadratures l'intégration de Inéquation
a riant dvlcrminc par V équation
'if . df
dx • dv
SUR LA RKCHERCHE DU FACTEUR U'iNTKGRABILlTR DES ÉQUATIONS, ETC. !^i3
En eflTet, si 0 n'est pas identiquement nul, on pourra facilement ramener Téquation précédente à la forme de Téquation (6).
Si <ï>=o, Téquation peut se ramener à la forme /=o(a), a étant remplacé par sa valeur tirée de (6) et son intégrale est, comme l'a remarqué Lagrange,
a désignant une constante arbitraire.
5. Je ferai remarquer encore que, Péquation (6) ne déterminant y qu'à une constante arbitraire près, on peut, dans celle équation remplacer / par f-^- [^(a), [x désignant une fonction arbitraire de a.
On sait donc, quelles que soient les fonctions <ï>, W^ ©, [x etf^ intégrer V équation
*(a)F'f/-f-H^(«)][^{ + HL'(a)]
-t-^*(a)F[/H- |ji(a)l-+-e(a)=o,
ou 7. doit être remplacé par sa t^aleur tirée de V équation
df ,df
6. Soit, pour prendre l'exemple le plus simple, f=J' — a-r; on en déduit j^= a.
D'où il suit que l'équation
dy — y dx = o, où y' est déterminée par l'équation
... j*'(y)FLy-^y+9(y)l
^^ I ^xny) ^'[y - ^y + ?(/)]+ e(y)= o,
a pour facteur d'intégrabilité, quelles que soient les fonctions 0, F, 0 eto, l'expression
:'|i4 CALCUL INTÉGRAL.
oii y doit être remplacé par sa valeur tirée de la relation (8). Faisons, par exemple,
©(/)=o, *(/)=!, F(/) = — ^« et e(0='*»
on aura
y^ — •! x^ y H- 9. xy = <) ;
d'où Téquation difTérentielle
(/y — ( jr* -H v^-P* — 'Ji .ry ) dx = o,
dont un facteur d^intégrabilité sera
y — X* — X ^x^ — 'ixy .
Effectivement, on a
{y — x^ — .r ^x^ — o.xy)\dy — {x^-^^x^ — 'H^y) dx\ = \y — x^ — X /î*— ^Tr^) dy
— [S^x* — J?*H-(^ — ax*) /j7^ — 'ixy^ dx,
expression qui, comme il est facile de le vérifier, est une différentielle exacte.
SUR L'INTÉGRALE C zTcTi^'^'^h.
iiuHetin de la Société mathématique de France ^ l. VII; 1K78.
1. Je suppose, dans toiil ce qui suit^ que n soit un nombre entier positif. On a évidemment
f^'^e"^ '^"'" dz=-e~~^^'" e« -^ U„ r'^~« ^"' dz-^-\,, •/d «''0
B;, désignant un polynôme entier en x et en 5, U,, et V,, deux polynômes entiers en x> Si, pour mettre les variables en évidence, on écrit pour un instant 6m(^, x) au lieu de 6/,, on a d'ailleurs
En dérivant l'équation précédente, on a
az
et de celte relation, pour /i = o, /i = 1 et n = 2, on déduit facilement les systèmes de valeurs suivants
En général, de Tidcntité
on déduit
(•2) U«-Hi =arU;,-f-arU«-i
et
(3) %n+\ = -«-h arO;, -f- n%n-\-
2. La relation (2), jointe aux valeurs données de Do et de U|,
/fif) CALCUL INTKGUAL.
montre immédialeinenl que les polynômes \J„ sonl précisément ceux qui ont été considérés par M. Hermite, au sujet du dévelop-
pcment de f * * en série (*), dans le cas particulier où l'on
a a = — I etA = — z.
Ces polynômes peuvent donc être définis par Téquation
(4) c* = Uo-+-U,3 -+- -— 5«-f-...-^ T^î ^«-t-
