De l'égalité
on déduit, en égalant les dérivées des deux membres par rapport à j:,
dS a , -^-f-5.r ^,
d*oii les relations suivantes
( • ) Sur un nouveau développement en série des fonctions ( Comptes rendus (le r Xcnilémie des Sciences, S février \Xi\\^ l. I.^I^}.
SUR l'intégrale / Ce Y"^"* dz. 417
-i. On en déduit facilement ces équations
et
d^Vn dVn
(7) ^^^.^a:^^^nV.=o,
qui ont été données par M. Hermile.
Posons, pour abréger,
SX
on aura les relations suivantes
et
d'où
ti ti dlln -, ^'—-^zx
nll„-i = -^' -^e » (U„ — 5«)
et
d^n dlln „ -V^-^/ , it dVn\
11 est remarquable que, le polynôme U« étant une solution de l'équation linéaire du second ordre
la fonction
satisfasse à Téquation
y-^xy-'ny = o,
X* — -4- ZX
qui ne difTcrc de la précédente que par la présence du second membre.
/|l8 CALCUL INTÉGRAL.
5. Les fonctions B pcnvenl s'exprimer facilemcnl au moveo (les fonctions U.
On a, en efl'et,
(9) Qn+i = 1A,„,„U;„ (w = o,i, 2, ... , n),
où, en posant, pour abréger, n — /n = u.,
Cm -4- i)(m -h 2)(/7i-i- 3)
(|jL-3K{^-4)(lx-5);:l^-«...
Le terme constant de cette expression est nul si /x est impair, et, si [X est pair, égal à
Par suite, en faisant, dans la relation (()),
il vient
(10) V«+, = U„-+- (/i — i)U„-2-+-(ai — 2)(/e — 3)U/,4 -h
