Élant donnée une équation diflTérentielle linéaire
A -j-^ H- B -7 — ^ -f- . . . -f- K -r- -f- L = o. dxf* dx'^-^ dz
on peut lui faire subir deux transformations diflfércnles, de telle sorte qu'après les transformations elle conserve encore la même forme.
On peut d'abord changer de variable en posant ^=y(s), puis, celle substitution effectuée, changer d'inconnue en posant y=z y i^z)u. Les diverses transformées que l'on obtient ainsi, en donnant aux fonctions /( 2:) et V(5) toutes les formes possibles, peuvent être considérées comme appartenant à une même classe.
Ainsi, toutes les équations différenlielles de second ordre ne forment qu'une seule classe et sont toutes réductibles à un Ijpe
unique, par exemple à l'équation ^-=^ = o; mais on ne sait pas,
au moyen de simples quadratures, opérer effectivement cette réréduction, ni, deux équations du second ordre étant données, trouver les transformations qui permettent de passer de l'une à l'autre.
2. Des circonstances entièrement différentes se présentent dans la théorie des équations différenlielles linéaires du troisième ordre.
Considérons l'équation
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU TROISIÈME ORDRE. ^^i
et supposons que, après avoir fait successivement les transformations X z=f(^z) ely = y{z)iij elle devienne
Je considérerai d'abord les expressions e'^^^"^ et e"^^*^^, introduites par M. Liouville dans l'étude des équations linéaires; on voit facilement que l'on a identiquement
la fonction e"*^**''^ constitue donc, relativement à Téquation (i), un véritable invariant qui, après les transformations, se reproduit à un facteur près dépendant uniquement des transformations opérées.
3. On obtient un second invariant de Téquation (i) en considérant la fonction
dP rfP3 dO
si, en effet, on forme, relativement à l'équation (2), la fonction semblable
lo = 4 HJ -h 6P0 -jz- -+■ -^ T) PoQo — 3 -jj -f-'iRo,
on a l'idenlilé
") '-"{Êï-
1 est donc encore un invariant de l'équation (i) qui ne change pas de valeur lorsqu'on change l'inconnue.
En combinant entre eux les deux invariants précédents, je considérerai encore l'invariant J^e^-^***"! qui donne lieu à la relation
(4) J0 = JV3(<S)
et qui, on le voit, ne change pas de valeur quand on change de variable.
432 CALCUL INTÈORAL.
4. Proposons-nous maintenant de reconnaître si deux équations données (i) et (2) appartiennent à la même classe. Si cela a lieu, en intégrant l'équation (3), on aura
a désignant une constante arbitraire; cette valeur, portée dans la relation (4), déterminera V(:;), et, si les équations appartiennent effectivement à la môme classe, on devra pouvoir disposer de l'arbitraire a de telle sorte que, par les transformations indiquées, Téquation (2) résulte de l'équation (1).
5. Toutes les équations du troisième ordre peuvent, en effectuant de simples quadratures, se ramener à une forme réduite ne renfermant qu'une fonction arbitraire. Si, en effet, on intègre Téquation (3) en y faisant 1© = 1, on en déduit une transformation telle que l'invariant 1 de la transformée est égal à l'unité; de même, en faisant Jo= i, on déduit de l'équation (4) une nouvelle transformation telle que la transformée manque du coefficient du second terme, son invariant I demeurant d'ailleurs égal à l'unité.
Cette transformée sera donc de la forme
Si Ton considère une autre équation sous sa forme réduite
dz^ ^ dz L V / 2 J '
il est clair que ces deux équations appartiendront à la même classe si, en déterminant convenablement une constante a, on a
identiquement
6. Les considérations qui précèdent supposent essentiellement 1 différent de zéro. Si 1 = o, il j a une relation homogène du second ordre et à coefficients constants entre trois solutions quelconques de l'équation donnée. Son intégration se ramène alors à l'intégration d'une équation du second ordre.
