L'équation précédente ne peut donc avoir de racines que

dans les intervalles ( — 1 , o) et (o, -h i).

Faisons \ = — - dans la suite (2), elle devient

et présente une alternance; Téquation a donc une racine et une

seule comprise entre o cl — - el, par suite, une et une seule com-

prise entre — - et — 1 .

En second lieu, faisons, dans la suite (3V i = 7> ^11^ devient

3 7"^ "Il T" ^'

comme elle ne présente qu^une alternance, il en résulte que rinlervalle f o^ - ) comprend une seule racine et il en est de même,

'3 \ p«r suite« de rintcrvalle i-- il.

On voil ainsi que l'équation proposée a toutes ses racines

réelles; la première est comprise entre — i et — 7' '^ deuxième

entre — 7 ^' ^1 1^ troisième entre zéro et + j> et la quatrième

entre -h 7 et -|- 1 .

C'est ce qu'il est, du reste, aisé de vérifier, Téquation mise sous forme entière étant

(2ar«— i)(7r»— 4)=o(«).

(*) Ce Mémoire formait les premiers Chapitres d'un Traité que Laguerre se proposait de publier sur la théorie de la résolution des équations numériques, La plupart des propositions qu'il renferme avaient été déjà exposées autre part par TAuteur, mais d'une façon moins complète. C'est pourquoi, afin d'éviter des répétitions et de présenter les résultats sous la forme à laquelle Laguerre avait donné définitivement la préférence, nous avons cru devoir placer ce Mémoire en tète des contributions relatives à la théorie des équations, en dérogeant à la règle que nous nous sommes imposée de classer suivant l'ordre chronologique les travaux relatifs à un même sujet. E. R.