I! = AC — B»-(AB'— BA

e = A«D — 3 ABC -4- -2 Bî — ( AB'— BA'), ...

Le semi-invariant II est corrélatif du hessien de la forme Y; il jouit des propriétés suivantes :

1° Il reste invariable quand on change la fonction inconnue.

2" Il conserve également la même valeur quand on considère l'équation adjointe de Lagrange.

3" Si l'on effectue la transformation la plus générale, en posant d'abord x =f(^z)^ puis y=:\(z) u, en désignant par Ho le semiinvariant relatif à la transformée, on a

"'^ - \7h) \ [d^J ** 6~ [dx ^ " î [d^^J j

î). Si l'on veut obtenir une transformée pour laquelle IIo soit nul, on doit intégrer l'équation

\dx/ 6 l^dx dx^ -2 \dx

c|ui, en posant

dz i dx o>*

( ' ) IIermite, Second Me/noire sur la théorie des /onctions homogènes à deux indéterminées {Journal de C relie, t. 5?. p. •;•')).

42f) CALCUL INTÉGRAL.

se réduit ù une équation linéaire du second ordre. Celle équalion étant intégrée et la substitution x=/(z) ayant élé délerminée de telle sorte que H soit nul, faisons un changement de fonction de telle sorte que le second terme de Téqualion disparaisse; Tinvariant II demeurera nul, et sa valeur montre que, B étant nul, C Test également. On obtient donc une transformée dans laquelle le deuxième terme disparait ainsi que le troisième, et il suffit, pour opérer cette réduction, d'intégrer d'abord une équation linéaire du second ordre, puis d'effectuer une quadrature.

6. Comme application de ce qui précède, considérons l'équation linéaire du troisième ordre. En appelant 1 l'invariant de cette équation, dont j'ai donné la valeur dans ma précédente Communication, on a

I =e — Jl!'.

Quand I = o, on voit que, si M est nul, il en est de même de 6; donc les équations linéaires du troisième ordre, pour lesquelles l'invariant 1 est nul, sont réductibles à l'équalion tjpe

d'où les conséquences suivantes, que j'avais, du reste, énoncées : 1° l/inlégralion de ces équations se ramène à l'intégration

d'une équation du second ordre.

a" Les intégrales de l'équation ( i ) élant respectivement i , z^ z^.

quantités entre lesquelles a lieu l'identité

il y a entre les intégrales d'une é(|uation dont l'invariant 1 est nul une relation homogène du second degré et à coefiicients constants.

3"* Iléciproqucmenl, si une pareille relation existe entre les intégrales d'une équalion du second ordre, on peut la mettre

sous la forme

//, r eï tr dt'signanl irois de ces intéi»ralcs convenablement choi-