En posant, pour abréger, N = di i . 2 . 3 . . . n, on a

d'où

(') Hclativcmcnt à ces séries demi-convergentes, voir la Note de M. Hcrmite

Sur l'intégrale j — dz, insérée dans les Actes de l'Académie royale

de Turin (17 novembre i'^7S).

Soit -/t—-: une réduite du polynôme F(x) dont le dénominateur soit d'un de<^ré m ^ - • On a

d'où

ou encore, en vertu de la relation (2), cl en remarquant que 2 m rst au plus égal à /î,

0'(X) f( X ) — /'( t) o( T) Cp(j-) I / *l \

OU encore

A désignant une quantité constante.

3. Formons maintenant Téquation linéaire du second ordre Mj^" — Nj^ -H Vy = o, qui a pour solutions

/•* e-^c/x ri=/{^) et yi=o(x)e-^—/(x) — -;

on a, en vertu d'une formule bien connue,

Or, un calcul facile donne, en tenant compte de la relation (3),

on a donc

sï = -('^î)

(*) Je désigne {;énéraleincnt, cl en faisant abstraction des valeurs des coefti-

cients, par ( — ] une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de .r

Cl coninienrant par un terme en — •

43o CALCUL IXTÉORAL.

d'oii il suit que le polynôme y (x) satisfail à réquatîon diflerenlielle du second ordre

donl une seconde solution est

ii = o(x)e-'-'/(x) I — -— .

Le développement en série donne aisément

i. Kn dérivant m fois de suite Tcqualion (4) il vient d'où, en désignant par B une quantité constante, el, par suite,

c'est une solution particulière de Téquation (4)," et, comme elle ne renferme pas de termes entiers en x, sa valeur est précisément la fonction que j'ai désignée précédemment par u.

On a donc, en modifiant un peu les notations déjà employées et en mettant en évidence le degré du polynôme y(:r),

c--^ dx B /** c-^(z — j*)"» , — ' ^ — (iz:

m y faisant j' ^^ o, on en déduit

\ . ij3i

et la formule précédente devient