Ayant, comme il est facile de le voir

Jr* e-' dx , , r* e-^dx f et ui — er^ — {x->r\)\ , X ^ Jx ^

on déduit de la formule (6) le développement suivant e-^ dx

r e-^ dx

dont la loi est évidente.

Les diverses réduites de celle expression sont ^1 ^ a: -+-3 T^-^ Sx -h II

l'expression générale de la //2'^'"»«^ réduite étant e~^ ^!" ; les for-

mules (7) et (8) permettent d'ailleurs de calculer successivemenl les valeurs des polynômes '^m{^) et /m(x).

7. Comme la fraction continue précédente provient d'une série divergente, il est nécessaire de prouver qu'elle est convergente et

• A cet effet, je remarque que de Téqua-

lion (5) on déduit

Je"* e-^ dx z>,fAx) m! r* e-^(z — j*)'» ,

De là résulte immédiatement que les diverses réduites dont l'expression générale est e"-^ ^^" ' - vont toujours en croissant en restant inférieures à la valeur de l'intégrale cherchée. Pour démontrer qu'elles ont celle intégrale pour limite, il suffit de faire voir que

, ,. . , ml r* e~^ i z — x)'" dz . n j .^ .

la limite de -t—, — r / -, est nulle quand m croit in-

définiment.

Je ferai observer d'abord que le facteur -^ / . tend vers zéro;

puis, en désignant par A une quantité très grande et arbîlraire-

.... . ,,. , , r*^ e-^(z — x)'" dz , -

ment choisie, je mellrai 1 intégrale I ziJiiTi sous la forme

suivante

c--(z — x)'^ dz r" e--{z — x)"^ dz

r^ e--(z — xy» dz r

considéré — ~ est toujours plus petit que i — -r j celle intégrale

Ilelalivemenl à la première intégrale, comme dans l'intervalle

est plus petite que f i — - j / — ^ ; donc, quelque grand que

soit A, clic Iciul \crs zt ro quand ni augmente indéfiniment. La

*T-R LIXTFORALE f

seconde intégrale est éviJeiDmeDt plus petite que / <»"- Jz. c'est-

à-dire que e~*: donc, pour une valeur suflisamment jjrande do A, elle est aussi petite que Ton veut. Ainsi, la fraction continue, quoique provenant d'une série essentiellement divergente, est

elle-même convergente et a pour limite / ^ ^•

8. Comme application, faisons x = i : les réduites suivantes :

4 20 124 910 79 io

» -rr-. — ' ' — :.^-: — »

7^ 34^ !i<xK >>4<i<* iM'i'e

seront des valeurs approchées de l'intégrale / — — ; en les réduisant en décimales, on obtient les expressions suivantes

La véritable valeur est 0,2193839.

En faisant j: = 4, la deuxième réduite donne pour valeur appro-

cnée de l'intégrale / la valeur :ty-^> ou, en décimales,

0,00377, dont les trois premiers chiffres significatifs sont exacts.

9. Dans sa Mécanique céleste (t. I\\ Liv. X), Laplace a donné

le développement en fraction continue de Tinlégrale / c^^dur.

Sa démonstration, reposant sur l'emploi d'une série divergente, est, comme l'a fait remarquer Jacobi, enlièremcnt inadmissible; ses résultats sont néanmoins exacts et ont été démontrés directement par l'illustre géomètre (*) allemand.

La méthode que j'ai développée ci-dessus, relativement à l'in-

-y s'applique entièrement à Tinlégrale considérée

par Laplace, et elle montre d'une façon très nette comment, tout

(') Z>e fractionc continua, in quant intégrale j e—^^dx cvohere licet

(Journal de C relie j t. l'2, p. 3'|<)).

434 CALCUL INTKORAL.

en partant d'une série divergente, on peut néanmoins arriver à une fraction continue <lonnantIa valeur de la fonction qu'il s'agissait de développer.

1. J'ai montré que les diverses réduites -^ — - de la série semîconvergente

/* €■ — •**» dx L'.

Onad'ailleurs, en représentant par n(A?) le produit i .2...(/î — i)/i,

/x/-/\ fwxF ,/i(n — 1) n(n — i)(/i — 3) "1

(I) /„(T) = II(n)|^i^,ix-h— ,— ^:r»-h ^^-^-^^ :r3-^...J.

(^) ^fni^) = nfn{T) — n'^fn-x{x)

et

La série F(j:) peut se mettre sous la forme suivante

Des principes posés par M. Heine, il résulte immédiatement que, "^{jc) désignant un polynôme quelconque d'un degré infé-

rieur a /î, on a

(i) f e\fn(T)6{x)dx = o,

•• oc

d'où l'on conclut, puisque e-^ est toujours positif, que l'équation

a toutes ses racines réelles et inégales, elles sont d'ailleurs évidemment négatives.

2. En particulier, on déduit de l'équation (4) la relation sui-

SUR L INTEORALE / ïiS:}

Jx ^

vante, où n et n! désignent deux nombres entiers différents,

(5) f e^fn{x)fn'{x)dx=0.

Pour évaluer / e^ f^^{x) dx ,, ']C; remarque que, en intégrant par

parties, on a

J e^Pn(x)dx=[e'f%{x)Y^^iJ^ e^fn{x)f'^{x)dx',

l'intégrale qui figure dans le second membre de cette identité est nulle en vertu de la relation (4); on déduit donc de la relation (i)

(6) f e'f%{x)dx = \\Hn).

Des formules précédentes résulte, comme on sait, le développement d'une fonction quelconque ^{x) au moyen des polynômes

Si Ton pose, en effet,

4>(a:) = Ao -^ A,/,(x) 4- \i/i{x) -h . . .-i- \„/a(x)-h. . . , on a

I e'^{x)/n(x)dx