Soit, comme application

On

aura

f e^^^^t^f,,{x)dx

TT/ X r^ '4 ,, r n(n—\) , n(n—i)(n — 7.) , 1

= U(n)Jj-^^^i^^i-^nx^ r^'2-- ^ -^ i«.2^3' 'x^-h...^

d'où le déveioppemenl suivant

ou encore

, en posant / =: — ^

sr

(7) 7z:7=«^-Vl(^)-^77^/2(^)■^-•••-+-û^//«(^)-^•^

développement qui subsiste évidemment pour toute valeur de z dont le module est plus petit que Tunité.

Les diverses propriétés des polynômes y„(j:) se déduiraient du reste très facilement de l'équation précédente en employant les méthodes données par Legendre relativement aux fonctions X„.

On a, par exemple, l'identité

^ Zà W{n) Zà n(//l) (|;;)(|f) (i/)(i__^/

d'où, en intégrant,

J ^ Jmd II ( n ) .^ Il ( W ) I — / 5 '

et de là résultent immédiatement les formules (5) et (6). 4-. De la formule

on déduit, en dérivant m fois par rapport à ty

d'où

SUR L'INTEGRALE

el, en supposant m^n^

d'où le développement suivant

Cette formule, on le voit, se déduit de la formule (i) (où d'ailleurs se trouve le nombre entier n au lieu du nombre m) en changeant /,|(^) en ( — xy ei x'^ en ( — \)"fn{x).

De là résulte que, si une fonction quelconque ^(»r), ordonnée suivant les puissances croissantes de a:, s'exprime au moyen des polynômes /„(j:r) par la formule symbolique suivante

où, dans le second membre, la puissance /i''^'™® de /doit être remplacée par/,i, on a aussi symboliquement

SUR LA