A COEFFICIENTS RATIONNELS

Bulletin de la Société mathématique de France, t. VIII; 1879.

1. Soit z une fonclion satisfaisant à Téquation linéaire (i) W2' = V;:-hU,

où U, V et W sont (les polynômes entiers en x.

Supposons, pour fixer les idées, que z soit développable suivant les puissances croissantes de x, et proposons-nous de former les réduites successives de la fonction z.

En désignant par/,! le polynôme du degré n qui est le dénominateur de la réduite de rang «, posons

on en déduit

?.iWkl.-^ (!,. .

d'où, en portant ces valeurs dans Téquation (1), et

(*) Je désigne ici, comme dans tout ce qui suit, par [ — ] une série ordonnée

suivant les puissances décroissantes de x et commençant par un terme de Tordre

de xv.

SUR LA RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES D'uNE FONCTION. 4^9

Le premier membre de celle relation est un polynôme entier; le

second membre est de l'ordre de la fonction V( — ]-hWf— J> et

cet ordre, qui est indépendant du nombre /?, indique le degré de ce polynôme.

En désignant par A„ un coefficient indépendant de x et dont je fixerai plus tard la valeur, je puis donc poser

(•^) /îU+/«o„v~\V(o;,/„-/'„cp„) = A„e„,

où 0„ est un polynôme entier dont le degré est marqué par Tordre de la fonction

2. Formons maintenant Téquation différentielle du second ordre

qui a pour solutions

yi=fn et yi=--e •' w '\^^^^f^^z).

En posant, pour abréger,

on a, d'après une formule connue,

or, un calcul facile donne

co e ^^- ,

el, en tenant compte de la relation (2),

(/'où

44o CALCUL INTÉGRAL.

et il résulte de là immédialement que Téquation cherchée est de la forme

we«y -h [( V -+- \v')e« - we;]y -+- k„^ = o,

où K„ désigne un polynôme entier dont le degré est indépendant de n.

Je mettrai celte équation sous la forme

ou, pour abréger,

Je ferai remarquer que, quand cette équation est connue, 6/i est connu à un l'acteur numérique près; on peut donc alors poser

où H„ est un polynôme déterminé et X une quantité indépendante de X.

3. Je ne m'occuperai pas ici du problème qui consiste à trouver les valeurs des coefficients des polynômes 6„etK,,, problème qui présente d'assez grandes difficultés et que j'ai déjà essayé de traiter, particulièrement dans deux Notes Sur la réduction en fractions continues d\tne classe assez étendue de fonctions et Sur le déKcloppement en fractions continues de e*"'^'*, publiées dans les Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences (janvier i8j8).

Je suppose celte équation formée.

Cela posé, on sait que Ton a entre les termes de deux rcduiles conséculives la relation

A;, élant une (piantilé ne dépendant que du nombre /i, et que, du reste, on peut choisir arbitrairement.

(') H^ est dclcrniino par I oqiialion — - — . ^^'