SUR LA RÉDUCTION EN FRACTIONS CONTINUES D'UNE FONCTION

On a de même et l'on déduit de là

d'où, si Ton pose, pour abréger,

les deux relations

et

(6) o/i+i — Q«-i//i-*- P/i-i/rt-i = 0,

où Q„ désigne un polynôme du premier degré en x.

11 est à remarquer que, quand on se donne arbitrairement la quantité P„ en fonction du nombre entier /i, les termes des réduites ne sont déterminés qu'à un facteur près purement numérique. Le signe des termes des réduites de rang impair demeure même indéterminé, car, en changeant ce signe, on voit que, toutes les quantités A„ changeant également de signe, P« conserve la même valeur.

J'écris maintenant la relation (2) sous la forme suivante :

En éliminant 0„ entre cette relation et l'identité (4), il vient

On en déduit, en désignant par un. un polynôme entier dont le degré est indépendant de /i, les deux équations suivantes :

(7) yy/n=^n/n-e„f„^u

(4) W(p'^ = u/;,-f-(V-hû«)cp„-e„(p„^.,.

i. Il s*agit maintenant de déterminer les polynômes Q^ et Q,,.

A cet effet, je déduis de l'équation (7) la valeur de f^, et je

porle la valeur ainsi obtenue, ainsi que celle dc/'„, dans l'équa-

tioQ (')) ; après quelques rt^diictions faciles, on obtient la relation

+ [u„e„{u„-!-V) + W(u;,e„-e;,û„)-i-WK,]/„=o;

en la comparant à l'idcnlilé

on en déduit

ii,4.,-i-û„-t-V

Posons

d'où