II
1 remplaçant, dans t'équalion précédente, un par cette valeur, 1 obtiendra, toutes réductions faites, l'équation
qui ne dilTère, on le voit, de l'équation (3) que par l'addition du terme
5. Quand on se donne l'équation (3), comme 8„ n'est pas ealibrement déterminé, je poserai, comme plus haut,
). étant une quantité indépendante de x et inconnue. L'équation (ta) deviendra alors
(i3) Wh- H \V„
La forme do
iQDUC, on dclcrmrncra facile-
ment les coefficients inconnus de la fonction ii, ainsi que la constante X'; on choisira arbitrairement la valeur de X que l'on en déduit (si l'on prenait la valeur qui est de signe contraire, cela n'aurait d'autre elTet que de changer les signes des termes des réduites de rang impair), et la formule (ii) donnera la valeur deQ„.
6. Comme application des formules qui précèdent, je prendrai pour exemple le développement de la fonction
qui satisfait à l'équalion dilTérentielle
et que j'ai étudiée dans une Note (') présentée récemment à la Société.
Nous avons, dans ce cas,
et l'équation difTérentielIc à laquelle satisfait y» est
On en conclut que U,, est une constanie que l'on peut prendre égale à l'unité; je poserai
Les équations (7) et (9) deviennent respectivement (i4) T/;.= Q„/.-e„/„*,
a„+i + fla + J
It —
'inU^rale j ( Bulletin de ta Soeieté maihématii/ae, l. VU,
La formule (i4) montre, d'ailleurs, que û/i est un poljnôme du premier degré en x qui ne peut se réduire à une constante ; on en conclut que u est de la forme e"^;rP, où a est différent de zéro. L'équation (i3) devient, dans ce cas,
en y substituant la valeur de u^ on obtient, toutes rédactions faites,
a (a -h i)a:«-h(2ap-+- a 4- P — /i)x -4- [P* — (/i -4-i)*X*] = o.
Comme a est essentiellement différent de zéro, on en déduit
et, en prenant la valeur négative de X,
puis
û,j = j? — = — X yi H ) = — (a? -h /i -+- 1).
Les formules (i4) et (i5) donnent, par suite,
^fn =fn+l—(^ -H n -+- l)/n
et
J7 — (a: -4- n-hi) — (rc-H n -h 2) «
d'où l'identité
fn^i = (JT -f- 2/1 -*- 3)/„-+.i— (/i -+- i)V«-
Ce sont précisément les relations que, par une voie différente, j'avais trouvées dans la Note citée plus haut.
SUR LA
