SI K LE ROLE DES ÉMANANTS

ÙX^S L\

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences,

t. LWVIII: 18;^

Oq peut toujours considérer un poivnome algébrique, fonction de la variable x, comme provenant d'une forme homogène /(x^ y)^ dans laquelle on a fait i* = i : dans tout ce qui suit, je supposerai que la variable >• et les variables analogues y y t., t/, ... que je pourrai intrt>duire soient toutes égales à I*unité.

L Le premier émanant de la forme y(x,r) est le polvnôme 5 -'- -t- T, y; ; les autres émanants s'obtiennenl en opéranl sur la

forme donnée avec le svmbole A = / $ /~ "^ ^« ^' )* ^*' pour abréger^ je les désignerai par la notation A'y^x, >-V Ils jouent un rôle im|H>rtant dans la théi>rie de Téquation /"< x. v) = o, et, à cet éganl, jVnoncenu d'abonl le théorème de Rolle sous la forme sui>ante :

tCioni «AmncV un^ rtfuaiion </^ tlrfr^ m <•/ ci coefficients réels t\Xsy* ^-^ o, XI /\>« /vxjtr» pour ahrrper.

«Mi $ rf«r3ciV«i<* urne tf^anfiiè ryr/.V ^melK»m$fue.

%* Aritjr nn^/n^^ tv.»ijCf>r«//»Yi «Ar /u pn>pi>sèe coniienneni Hw/^mrs nm f^t^mhrr im/wi/r xie r\7cimes Je rê^maiiom U = o:

t* ^1 l«><flf^ ies nn^iJirtc xie <',î pr\\s>:*s^^ ft>itl rêeHes. touies ^ytiles fie /'i^nh^Vn O ^ o <'.-^: x-^::^wt^»l réeiles ei séparent

SUR LA THÉORIE DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. f\ij

Je ferai remarquer que Ton peut remplacer récpiallon û = o par l'équation

/ dF dF\ ZdFdF dF^dF\

r ^n '^^' ^/ l dx dr^ d\ dy ) - ^'

dont deux racines sont en évidence, les autres pouvant être déterminées par la résolution d^une équation du degré {m — 2).

2. Soit une équation, de degré niy f{Xy y) =^ o^ à coefficients réels ou imaginaires; représentons, avec Caucliy, ses m racines par m points du plan que nous appellerons les points racines; nous aurons les propositions suivantes :

Théorème I. — Etant donné un cercle quelconque contenant tous les points racines de réquation, et étant pris un point que/conque Ç en dehors de ce cercle, toutes les racines d'une quelconque des équations

que l'on obtient en égalant à zéro un émanant de l'équation proposée, sont également contenues dans l'intérieur de ce cercle.

Remarque, — Si toutes les racines de la proposée étaient en dehors du cercle, le point ç étant situé en dedans, toutes les racines des équations, obtenues en égalant les émanants à zéro, seraient également en dehors du cercle.

Théorème II. — Si deux points du plan ç, ;' satisfont à la relation

^ d\^^* dr, - "'

tout cercle mené par ces deux points (passàl-il même par un certain nombre de points racines, pourvu qu'il ne les contienne pas tous) contient au moins un point racine ; il y a en outre au moins un point racine à l'extérieur de ce cercle.

Démarque I, — La même proposition a heu si h;s d mi\ points \ et \ satisfont à Tune quelconque dos équalions

.lO ALGEBRE.

Remarque IL — En parUculîer, le cercle décrit sur Çç' comme diamètre contient au moins un point racine; si Ç est une valeur suflisamment approchée d'une racine X| de la proposée, $' sera lui-même très voisin de $, et le cercle Ç ayant Çç' pour diamètre contiendra nécessairement la racine Xi ; il résulte même de ce qui précède que cette racine s'écartera très peu du diamètre. On peut rapprocher ce résultat de la méthode d'approximation donnée par Newton.

3. Cauchv a donné, dans son théorème sur les contours, relativement aux racines imaginaires, l'équivalent du théorème de Sturm. Les théorèmes beaucoup plus élémentaires, mais non moins importants, de Rolle et de Descartes, n'ont pas, jusqu'à présent, été étendus au cas des racines imaginaires. Les propositions précédentes, quoique très simples, pourront peut-être jeter quelque jour sur cette question ; dans tous les cas, elles mettent indubitablement en évidence le rôle fondamental que jouent dans celte théorie les contours circulaires.