RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE
d'une fraction qui satisfait a une équation linéaire du premier ordre
a coefficients rationnels.
Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences,
t. XCVIII; 1879.
Je me suis déjà à plusieurs reprises occupé de cette question, notamment dans une Note insérée dans le Bulletin de la Soc. math. (t. VIII, p. 21); mais, bien que l'objet principal de mes recherches soit résolu par l'analjse que j'y ai employée, je n'ai pas énoncé explicitement le résultat et je demanderai la permission de revenir sur ce sujet.
Soit 5 une fonction, développable suivant les puissances décroissantes de X, qui satisfait à l'équation
OÙ U, V et W désignent des polynômes entiers; sa réduction en fraction continue se ramène à la recherche de deux polynômes dont les coefficients dépendent du degré n du dénominateur fn de la réduite de rang n et dont l'un 0« est du degré de la fonction
1 j) l'autre Qn étant d'un degré supérieur d'une unité. Ces
polynômes sont déterminés parles conditions suivantes, à savoir que ûw-f- Ûw^.! soit divisible par 0„^4 et ^l — \^—l\i^\Su^ti^i par W; P„+i désigne un coefficient variable avec n et dont la valeur est prise arbitrairement; on a donc
et
R/î et Q/i+i désignant deux polynômes entiers dont le dernier est du premier degré. Cela posé, on a les formules suivantes :
et
(3) we„/;4-[(:iV + \v')e„-\ve;]/,
Des relations (i) et (2) on déduit d^ailleurs l'identité
e„-H,[(û„+,-Q;,)Q„-Ki-(P«-Kie;,H-,— p„^,e„)] = W(R„^, — R„),
qui se décompose en les deux suivantes
et
où T„ désigne un polynôme entier.
Comme application, soitd'abord 5 = log — - > d'où (i — j:^)z'='i',
dans ce cas, W = 1 — :r' et V = o. S„ est donc une constante a„ : je ferai Pn= ^^ et poserai Û„= a„a: -f- b„. L'équation (3) devient
d'où Ton voit que R,i = — n{n -f- i) — a„ ; l'identité (i) devient alors
(a„x-h bn)'—{n-^ïy oLn a^^, = ( x» — i ) ( /i* -f- /n- a„ ) ;
on déduit de là bn= o, al — On — n(n -]- i)=z o; ce qui donne les deux valeurs suivantes de a,i : a„ = — n (une discussion facile montre qu'elle doit être rejetée) et a,i= n -\- i; puis ensuite y.fiOLf,^i = I, d'où, si l'on prend ao = 1 , a„= 1 et enfin, en vertu de la formule (2), Q//+1 = {^n -{- S)x, ce qui donne la formule de récurrence /,/+, — (2/^ -f- i)x/,/H- n- f^^K = o.
Soil, en second lieu, la fonction r- = e ** ■*', qui satisfait à
l'équation
on a, dans ce cas,
W = vT'» cl \' = .r -4- ^.
